linear2

発展・「直交補空間」

≪直交補空間≫

内積を持つ線型空間

V

の線型部分空間

W \in V

に対して、

W

のすべての元と直交するような　

V

の元全体の集合を、（線型空間

V

における） $W$ の「直交補空間」と呼び、記号「

⊥

」を用いて

W^{⊥}

と表記する。すなわち、

W^{⊥} = {v \in V | ⟨ {w, v ⟩}_{V} = 0, {}^{\forall}w \in W} \dots (1)

このとき、

W^{⊥} \in V も、 V

の線型部分空間になる。

そのことを確認しておこう。　まず、「線型部分空間」とは, 足し算やスカラー倍をしても, その結果が自分自身の中にとどまるために, それ自身が「線型空間」になっているような部分集合のこと、であるから、

v_{1}, v_{2} \in W^{⊥}, c \in R

とすると、

⟨ w, v_{1} + v_{2} ⟩ = ⟨ w, v_{1} ⟩ + ⟨ w, v_{2} ⟩ ところで、 v_{1}, v_{2} \in W^{⊥} より ⟨ w, v_{1} ⟩ = 0 ⟨ w, v_{2} ⟩ = 0 したがって、 = 0 + 0 = 0 よって、 v 1 + v_{2} \in W^{⊥} また、 ⟨ w, c v_{1} ⟩ = c ⟨ w, v_{1} ⟩ = c \cdot 0 = 0 よって、 c v 1 \in W^{⊥}

したがって、

W^{⊥}

も内積構造を保つ線型部分空間になるから、

V

の線型部分空間になることが分かる。

＜直交補空間と基底＞

　いま、

\dim_{R} = m

として、

W

の正規直交基底

\{e_{1} e_{2} \dots e_{m}\}

を勝手にひとつ取ってきたとすると、

e_{i} \in W (i = 1 2 \dots m)

となるから、

v \in W^{⊥} \overset{}{\Rightarrow} {⟨ e_{i}, v ⟩}_{V} = 0 \dots (2)

となることが分かる。

一方、

i = 1 2 \dots m

に対して

{⟨ e_{i}, v ⟩}_{V} = 0 \dots (3) となると、仮定して、 w \in W を、 w = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} +\dots+ a_{m} e_{m} (a_{1} a_{2} \dots a_{m} \in R) というように表わしてみると、 ⟨ w, v ⟩ = ⟨ a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} +\dots+ a_{m} e_{m}, v ⟩ = a_{1} \cdot⟨ e_{1}, v ⟩ + a_{2} \cdot⟨ e_{2}, v ⟩ +\dots+ a_{m} \cdot⟨ e_{m}, v ⟩ = 0 （(3)式より） すなわち、 v \in W^{⊥} となることが分かる。よって、 {⟨ e_{i}, v ⟩}_{V} = 0 \overset{}{\Rightarrow} v \in W^{⊥} \dots (4) したがって、(2)、(4)式より v \in W^{⊥} \overset{}{\Leftrightarrow} {⟨ e_{i}, v ⟩}_{V} = 0 (i = 1 2 \dots m)

となることが分かる。

すると、

W

の直交補空間

W^{⊥}

は、

W

の基底を用いて、

W^{⊥} = {v \in V | {⟨ e_{i}, v ⟩}_{V} = 0 (i = 1 2 \dots m)} \dots (5)

というようにも表わせることが分かる。

＜線型空間 $V$ が $W$ と $W^{⊥}$ の直和となる＞

与えられた線型空間

V

がいくつかの線型部分空間に分解することを考えると、線型空間

V

の元も「成分分解」することになる。そこで,

V

の線型部分空間

W \in V

が, 勝手にひとつ与えられたとして、勝手な元

u \in V

に対して、

u = w + v \dots (6)

のように表わされるとすると,

w \in W や v \in W^{⊥}

はどのような元でなければならないのか、を考えてみよう。

いま、

\dim_{R} W = m

として、

W

の正規直交基底

\{e_{1} e_{2} \dots e_{m}\}

を、勝手にひとつ取ってきて、

a_{1} a_{2} \dots a_{m} \in R

として、

w \in W

を、

w = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} +\dots+ a_{m} e_{m} \dots (7)

と表わして考えてみることにする。すると、(6)式は、

u = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} +\dots+ a_{m} e_{m} + v \dots (8)

というように表わせることになる。
そこで、

e_{i} \in W

と(8)式の内積を考えると、

⟨ e_{i}, u ⟩= ⟨ e_{i}, a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} +\dots+ a_{m} e_{m} + v ⟩ = ⟨ e_{i}, a_{1} e_{1} ⟩+ ⟨ e_{i}, a_{2} e_{2} ⟩+ \dots+⟨ e_{i}, a_{m} e_{m} ⟩+ ⟨ e_{i}, v ⟩ = a_{1} \cdot⟨ e_{i}, e_{1} ⟩+ a_{2} \cdot⟨ e_{i}, e_{2} ⟩+ \dots+ a_{m} \cdot⟨ e_{i}, e_{m} ⟩+ ⟨ e_{i}, v ⟩ \dots (9)

ところで、いま、

e_{i} \in W

は正規直交基底であるから、

⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = \{\begin{matrix} 1, i = j \\ 0, i \neq j \end{matrix} (i, j = 1 2 \dots m) \dots (10) また、 v \in W^{⊥} より v \in W^{⊥} \overset{}{\Rightarrow} {⟨ e_{i}, v ⟩}_{V} = 0

となることに注意する。

したがって、(9)式は

⟨ e_{i}, u ⟩= a_{1} \cdot 1 + a_{2} \cdot 1 +\dots+ a_{m} \cdot 1 + 0 = a_{i} すなわち、 i = 1 2 \dots m に対して、 a_{i} =⟨ e_{i}, u ⟩ \dots (11)

このことは、いままで漠然と定義されていた

a_{i} \in R は、 u \in V

が、(6)式のように表わされるとすると、

w \in W

の元は、与えられた元

u \in V

に対して、(11)式によって具体的に定まる、ということを意味している。
それでは、具体的に定まる

w \in W の元を用いて、 v \in V

は、(6)式より

v = u - a_{1} e_{1} - a_{2} e_{2} -\dots- a_{m} e_{m}

でなければならないことが分かる。
そこで、改めて、

{⟨ e_{i}, v ⟩}_{V}

を考えると、

⟨ e_{i}, v ⟩= ⟨ e_{i}, u - a_{1} e_{1} - a_{2} e_{2} -\dots- a_{m} e_{m} ⟩ = ⟨ e_{i}, u ⟩ -⟨ e_{i}, a_{1} e_{1} ⟩ -⟨ e_{i}, a_{2} e_{2} ⟩ -\dots-⟨ e_{i}, a_{m} e_{m} ⟩ = ⟨ e_{i}, u ⟩ - a_{1} \cdot⟨ e_{i}, e_{1} ⟩ - a_{2} \cdot⟨ e_{i}, e_{2} ⟩ -\dots- a_{m} \cdot⟨ e_{i}, e_{m} ⟩ (10)式より = ⟨ e_{i}, u ⟩ - a_{i} (11)式より = 0 したがって、(5)式より、 v \in W^{⊥}

となることが分かる。

以上より、(11)式によって定まる係数

a_{1} a_{2} \dots a_{m} \in R

を用いて

w = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} +\dots+ a_{m} e_{m} \in W v = u - a_{1} e_{1} - a_{2} e_{2} -\dots- a_{m} e_{m} \in W^{⊥} と定めることで、 u = w + v

と「成分分解」できることが分かる。

ところで、線型空間

V が、 W と W^{⊥}

の直和となるための条件としては、

　(イ)　勝手な元

u \in V

に対して、

u = w + v

　　となるような元

w \in W, v \in W^{⊥}

が存在する。
　(ロ)　

w \in W, v \in W^{⊥}

として、

0 = w + v \overset{}{\Rightarrow} w = v = 0 となる。

という二つの条件が満たされることが確かめられればよい。

まず、(イ)という条件は、上の考察で条件が満たされることが分かる。
次に、(ロ)という条件について考えてみよう。

いま、 w \in W, v \in W^{⊥} として 0 = w + v \dots (12)

となると仮定してみる。このとき、

{⟨ w, v ⟩}_{V} = 0

となることに注意して、(12)式の両辺と、

w

との内積を考えてみると

0 = ⟨ w, w + v ⟩ = ⟨ w, w ⟩ + ⟨ w, v ⟩ = {∥ w ∥}^{2} よって、 w = 0

全く同様に、(12)式の両辺と、

v

との内積を考えてみると

0 = ⟨ v, w + v ⟩ = ⟨ v, w ⟩ + ⟨ v, v ⟩ = {∥ v ∥}^{2} となることが分かるから、 v = 0 したがって、 w = v = 0

となることが分かる。

以上から, (イ), (ロ) という二つの条件が満たされることが分かるから, 線型空間

V は V = W \oplus W^{⊥}

というように「

W

の方向」と「

W

に直交する方向」

W^{⊥}

に直和分解されることが分かる。このように、

W^{⊥}

は、線型空間

W

の中で、「

W

の方向」だけではカバーできない方向を「

W

に直交する方向」として「補っている」ので、

W

の「直交補空間」と呼ばれる。

「直交補空間のメリット」

　一般に、線型空間

V

上での線形写像

f : V \to V

が与えられているときに

w \in W \Rightarrow f (w)\in W

「

W

の勝手な元

w \in W

に線形写像

f

を施しても、その行き先

f (w) は、 W

内に収まる」、すなわち、「線型写像

f

を施すという操作で

W

は不変に保たれる」という条件を満たす

V

　の線型部分空間

W \in V

　を線形写像

f

　の不変部分空間と呼ぶ。
そこで、いま、線型空間

V

が

V = W \oplus W^{⊥}

というように、直和分解しているとき、

W

が対称変換

f

の不変部分空間である場合、

W の直交補空間 W^{⊥}

がどうなるか、すなわち、直交補空間

W^{⊥}

も不変部分空間になるかどうか、を考えてみよう。　いま、

f

が、対称変換であるということに注目して

⟨ f (w), v ⟩= ⟨ v, f (w) ⟩ {}^{\forall}w, v \in V \dots (13)

という対称変換の定義式における

w, v \in V

として、

w \in W, v \in W^{⊥}

となる元をとってくると、

W

は対称変換

f

の不変部分空間である、と仮定しているから、

f (w) \in W

となることに注意すると、(13)式の左辺は

{⟨ f (w), v ⟩}_{V} = 0 \dots (14)

よって、(13),(14)式より、勝手な元

w \in W

に対して、

{⟨ w, f (v) ⟩}_{V} = 0 となることが分かるから f (v) \in W^{⊥} したがって、 v \in W^{⊥} \Rightarrow f (v) \in W^{⊥}

となることが分かる. 以上から,

W

が対称変換

f

の不変部分空間である場合、

W

の直交補空間

W^{⊥}

も対称変換

f

の不変部分空間になることが分かる。このことは、何を意味しているだろうか。
いま、線型空間

V

上での線形写像

f : V \to V

が与えられているときに、対称変換

f

の不変部分空間

W

を用いて、

V = W \oplus W^{⊥}

というように直和分解して考えることにより
「サイズの大きな対称変換の様子を理解する問題」を「サイズがより小さな対称変換の様子を理解する問題」へ、　すなわち、対称変換

f

の定義域や値域を

W や W^{⊥}

に制限することによって得られる対称変換

{f |}_{W} : W \to W {f |}_{W^{⊥}} : W^{⊥} \to W^{⊥}

の様子を理解する問題」に帰着して考えることができるということ、になる。

＜「牛腸作数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞

(1)行列の基本変形とはなにか
 (2)行列を「simpleな形」に変形する
 (3)基本変形により逆行列を求める
 (4)線形空間の考えとは
 (5)線形写像とは
 (6)異なる基底はいくつあるか
 (7)表現行列変換の基本
 (8)行列の対角化の問題
 (9)行列の対角化の問題(2)

行列式(1)行列式とはなにか
 行列式(2)行列式の実務計算
 行列式(3)行列式の余因子

 展開(1) 線型漸化式と行列
 展開(2) 線型常微分方程式

 発展　(1)対称行列
 発展　(2)直交行列
 発展　線型空間の「直和」
発展　「直交補空間」

補論　Cramer の公式と「掃き出し法」
補論　Cayley-Hamilton の定理
 補論　行列値関数の微分

発展・「直交補空間」

≪直交補空間≫

＜直交補空間と基底＞

＜線型空間 V が W と W⊥ の直和となる＞

「直交補空間のメリット」

＜「牛腸作 数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞

＜線型空間 $V$ が $W$ と $W^{⊥}$ の直和となる＞

＜「牛腸作数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞