基本変形とは、与えられた行列の行や列を一定の手続きで変形していく操作で、具体的には

〇 行（列）に関する基本変形
（a）ある二つの行（列）を入れ替える
（b）ある行（列）に別な行（列）の何倍かを足す
（c）ある行（列）を何倍かする(ただし、0倍することは許さないものとする)

という三種類の操作を「行（列）に関する基本変形」と呼ぶ。
その意味するところは、「行列語」で　例えば2行2列の場合 という「基本行列」を右からあるいは左から、掛け算することである。

基本変形とは

ところで、数ある行列の中で、例えば などの行列のように、「対角線上にいくつか 1 が並び、他の成分がすべて 0 になっているような行列」は、 とても「simpleな見やすい形」をした行列であると考えることができる。
そこで、行列 A が, 勝手にひとつ与えられたときに、行列 A の行や列に何度か基本変形を施すことによって、 A を (１) 式に現われる行列のような「simpleな形」に変形することができるかどうかということを考えてみよう。
A が 3行 3列の行列で　零行列でないと仮定する。いま という行列が勝手に一つ与えられたとすると、仮定より行列 A は零行列ではないので、行列 A の成分の中には 0 と異なる 成分が存在することになる。そこで、その成分の現われる行と列に対して、(a) という操作を施すと、行列 A は というように、1行 1列目の成分 $a_{11}$ が 0 でないような行列に変形することができる。
さらに、 一行目を${\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\end{array}\right)}^{-1}$ 倍してみると という形の行列に変形できることが分かる。

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このことは例えば として、行列$A$の2行3列目の成分が０でないとすると
1行目と2行目を入れ替える すなわち さらに、1列目と3列目を入れ替える すなわち さらに1行目を$\frac{1}{2}$ 倍する すなわち のように変形できるということです。

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そこで、（２）式の行列の1行目と1列目の成分を というように、表すとすると
２行目＋１行目$\times (-a_{21})$
３行目＋１行目$\times (-a_{31})$　より さらに、
２列目＋１列目$\times (-a_{12})$
３列目＋１列目$\times (-a_{13})$　より というように変形できることが分かる。
したがって、３行３列の行列 $A$ を「simpleな形」に変形する問題が という形の行列を「simpleな形」に変形する問題に帰着するになる。 そこで、（３）式の行列の残った成分に対して、同様の変形を繰り返すと、最終的に行列$A$ は のうちのいずれかかの「simpleな形」に変形できることが分かる。

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以上と全く同様の推論を繰り返すと、勝手にひとつ与えられた m 行 n 列の行列 A に対して, A の 行や列に何度か基本変形を施すことによって, 行列 A を というような「simpleな見やすい形」に変形できることが分かる。 「基本変形する」ということは、「対応する基本行列を右や左から掛け算する」ということだから、 この事実は,勝手にひとつ与えられた行列 A に対して,適当な基本行列 $E_1,E_2,\cdots ,E_s\hspace{0.5em}{F}_1,F_2,\cdots ,F_t$ が見つかって という形に変形できるということを意味している。
そこで とすると、このことは、一般に勝手にひとつ与えられた m行n列の行列 A に対して、適当な m行m列 の正則行列 P と n行n列 の正則行列 Q が存在して、正則行列 P、Q を掛け算することで行列 A を というように「simpleな見やすい形」に変形できると解釈することができる。 このとき対角線上に残った 1 の数 r を行列 A の階数 ( rank ) と呼ぶのであった。