前回、「行列の対角化の問題」への取り組みとしては
(i) 特性多項式 ${\phi }_A\left(t\right)=\text{det}(tI-A)$ を計算して ${\phi }_A(\lambda )=0\text{\hspace{0.5em}の解\hspace{0.5em}}\lambda \in \mathbb{C}$ を すべて求める。（　⇒ 行列 $A$ の固有値が求まる）
(ii)それぞれの固有値 $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して $(A-\lambda I)=O$ という連立一次方程式を解いて　$V(\lambda )=\{u\in {\mathbb{C}}^n|Au=\lambda u\}$ を求める。（　⇒ 行列 $A$ の固有ベクトルが求まる）
(iii)　$V(\lambda )$ たちの中から適当にベクトル　$P_i(i=1.2.3.\dots n)$ を取り出して正則行列$P$ をつくる。
というような方法で「対角化」を実現することができる、ということを見た。

　ここで注意すべきは、すべての正方行列が「対角化」できるとは限らない、ということである。

しかし、固有値方程式が重複解を持つ場合、すべての固有値が、自身の重複度と同じ数の一次独立な固有ベクトルを持てば、 全体で n 個の一次独立な固有ベクトルが得られるから、A は対角化可能である。逆に、ある固有値に属する固有ベクトルの自由度が 固有値の重複度よりも小さくなるとき、行列は対角化できない。

さらに、対角化できない例としては、ベキ零行列がある。
通常の数（例えば実数）を考えると、$x\ne 0$ とすると、何乗しても　$x^k$ がゼロになることはない。しかし、行列においてはゼロでない行列も何乗かするとゼロになる、ことがある。そのような行列を「ベキ零行列」という。
　これらの「ベキ零行列」は、対角化することができない、ということが、次のようにして分かる。
いま、逆に、行列 $N$ に対する「対角化の問題」が解決して、$P^{-1}NP=\Lambda$ となるような対角行列 $\Lambda$ と正則行列 $P$ が見つかった、と仮定してみる。