基底

抽象的に定義された「線形空間」は「基底」を用いることでその空間を「座標付け」することができる。その場合、万人に共通の統一された規格があるのでなく、どの座標軸をどの方向に選ぶのかということは, それぞれの人によって異なり得る。すなわち、異なったいろいろの「基底」がある、ということである。それでは、線形空間

V

に対して　

V

の異なる基底はどれだけ存在するのだろうか？
（

V

は

R

上の線形空間であるとし

\dim_{R} = 2

　の場合で考察する。）

いま、

V

の基底｛

e_{1} e_{2}

｝をひとつ取ってきて　

V ∋ u = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} \overset{}{\leftrightarrow} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) \in R^{2}

……(A)

というように　

V

に「番地割り」をして考えてみる。その場合、どのような「番地割りの基準」のもとで、どのような「番地」をもつ元を考えているのか、という２つの情報を同時に表すために

(番地割りの基準） (\begin{matrix} 番 \\ 地 \\ （値） \end{matrix})

のように記述し、（A）式を次のように表すことにする。

u = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

いま、

f_{1}, f_{2} \in V

を勝手に２つ取ってきて

f_{1} = a e_{1} + c e_{2} = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} a \\ c \end{matrix})

……(１)

f_{2} = b e_{1} + d e_{2} = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} b \\ d \end{matrix})

……(２)

と表わすとすると、（１）（２）式は

(f_{1} f_{2}) = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

……(３)

と表わせることに注意して　

P = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

　として（３）式を

(f_{1} f_{2}) = (e_{1} e_{2}) P

……(４)

というように表すことにする。

そこで｛

f_{1} f_{2}

｝が

V

の基底となるための条件を考えてみる。そのために｛

f_{1} f_{2}

｝も

V

の基底となった、と仮定してみよう。するとこのとき、基底　｛

f_{1} f_{2}

｝を用いて

V

に「番地割り」することができるから　

e_{1}, e_{2} \in V

を｛

f_{1} f_{2}

｝で表わすことができる。
すなわち、

α, β, γ, δ \in R

として

e_{1}, e_{2} \in V

を

e_{1} = α f_{1} + γ f_{2} = (f_{1} f_{2}) (\begin{matrix} α \\ γ \end{matrix})

……(５)

e_{2} = β f_{1} + δ f_{2} = (f_{1} f_{2}) (\begin{matrix} β \\ δ \end{matrix})

……(６)

というように表わすことができる。そこで

Q = (\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix})

　として

(e_{1} e_{2}) = (f_{1} f_{2}) Q

……(７)

と表せることが分かる。

少しややこしくなりましたが、要するに、

P

は｛

e_{1} e_{2}

｝という基底を用いた「番地割り」のもとで　

f_{1}, f_{2} \in V

　に割り振られる「番地」であり、

Q

は｛

f_{1} f_{2}

｝という基底を用いた「番地割り」のもとで　

e_{1}, e_{2} \in V

　に割り振られる「番地」を並べてできる行列である。

そこでいま、（７）式に（４）式を代入してみる。すると

(e_{1} e_{2}) = (f_{1} f_{2}) Q = (e_{1} e_{2}) P Q

……(８)

そこで

P Q = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix})

　とすると

\{\begin{matrix} e_{1} = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} a^{'} \\ c^{'} \end{matrix}) \\ e_{2} = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} b^{'} \\ d^{'} \end{matrix}) \end{matrix}

……(９)

ここで（９）式は、｛

e_{1} e_{2}

｝という基底を用いた「番地割り」のもとで　

e_{1}, e_{2} \in V

　に

\{\begin{matrix} V ∋ e_{1} \leftrightarrow (\begin{matrix} a^{'} \\ c^{'} \end{matrix}) \in R^{2} \\ V ∋ e_{2} \leftrightarrow (\begin{matrix} b^{'} \\ d^{'} \end{matrix}) \in R^{2} \end{matrix}

というように「番地」が割り振られることを意味しているが、｛

e_{1} e_{2}

｝という基底のもとで　

e_{1}, e_{2} \in V

に割り振られる「番地」は

\{\begin{matrix} V ∋ e_{1} \leftrightarrow (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \in R^{2} \\ V ∋ e_{2} \leftrightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{2} \end{matrix}

しか存在しないから

(\begin{matrix} a^{'} \\ c^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} b^{'} \\ d^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

よって

P Q = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = I

……(10)

全く同様に、(4)式に(7)式を代入すると

(f_{1} f_{2}) = (e_{1} e_{2}) P = (f_{1} f_{2}) Q P

……(11)

となるが、上と同様に考えると(11)式より

Q P = I

……(12)

となることが分かる。
したがって、(10)(12)式より

P Q = Q P = I

となることが分かるから、行列

P

は正則行列でなければならないことが分かる。
以上から {

f_{1} f_{2}

}が

V

の基底となるためには(4)式の右辺に現われる行列

P

は正則行列でなければならないことが分かった。

そこで行列

P

が正則行列である、と仮定したとき　{

f_{1} f_{2}

}が　

V

の基底となることができるか、を考えてみよう。
まず　{

f_{1} f_{2}

} が　

V

の基底となるための条件は
（イ）勝手な元

u \in V

に対して

u = b_{1} f_{1} + b_{2} f_{2}

となるような実数

b_{1}, b_{2} \in R

が存在する。
(ロ) 　

b_{1}, b_{2} \in R

として

0 = b_{1} f_{1} + b_{2} f_{2} \Rightarrow b_{1} = b_{2} = 0

となる

という２つの条件を満たすことである。

線形空間に「座標付け」する

(イ)について
いま　{

e_{1} e_{2}

} は

V

の基底であるから

u = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

……(13)

となるような実数

a_{1}, a_{2} \in R

が存在する。
一方、

P

が正則行列であることに注意して(4)式の両辺に右から

P^{-1}

を掛け算してみると

(f_{1} f_{2}) P^{-1} = (e_{1} e_{2}) P P^{-1} = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (e_{1} e_{2})

すなわち

(e_{1} e_{2}) = (f_{1} f_{2}) P^{-1}

……(14)

よって　(13)式に(14)式を代入することで

u = (e_{1} e_{2}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) = (f_{1} f_{2}) P^{-1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

したがって、

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = P^{-1} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

として(イ)の条件を満たすことが分かる。

(ロ)について
いま、

b_{1}, b_{2} \in R

として

0 = (f_{1} f_{2}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})

……(15)

である、と仮定してみる。
このとき(4)式を(15)式に代入してみると

0 = (f_{1} f_{2}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (e_{1} e_{2}) P (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})

……(16)

ここで(16)式は　{

e_{1} e_{2}

} という基底を用いた「番地割り」のもとで

V ∋ 0 \leftrightarrow P (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) \in R^{2}

というように「番地」が割り振られることを意味しているが　{

e_{1} e_{2}

} という基底のもとで

0 \in V

に割り振られる「番地」は

V ∋ 0 \leftrightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) \in R^{2}

しか存在しないから

P (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

……(17)

よって(17)式の両辺に左から

P^{-1}

を掛け算することで

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = P^{-1} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

となるから、(ロ)という条件も満たされることが分かる。
以上より、

｛ f_{1} f_{2} ｝

は

V

の基底となることが分かる。

一般に　

{dim}_{R}=n

として、

V

の基底｛

e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}

｝を勝手にひとつ取ってきて、

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n} \in V

を

(f_{1} f_{2} \dots f_{n}) = (e_{1} e_{2} \dots e_{n}) P

……(18)

というように表わすとき｛

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n} \in V

｝が

V

の基底となる条件は

P

が正則行列（

\Leftrightarrow det P \neq 0

）となることである。
いま

V

の基底全体の集合を

B_{V} = {{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}} ∣ {f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}} はⅤの基底}

実数を成分に持つｎ行ｎ列の正則行列全体の集合を

GL (n, R) = {P = {(p_{ij})}_{\begin{matrix} i=1,2,..., n \\ j=1,2,..., n \end{matrix}} ∣ p_{ij} \in R, det P \neq 0}

また　

{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}} \in B_{V}

という

V

の基底を、「基点」として勝手にひとつ選んだうえで n行ｎ列の正則行列

P \in GL (n, R)

に対して（18）式によって

V

の元　

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n} \in V

を定めることにする。
すると、ｎ次元の線形空間

V

の基底と　ｎ行ｎ列の正則行列の間の

B_{V} ∋ {f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}} \leftrightarrow P \in GL (n, R)

という対応により、線形空間線形空間

V

の基底全体の集合は、正則行列全体の集合と同一視できることが分かる。

このとき注意しなければならないことは、この同一視を考えるためには最初にひとつ　

{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}} \in B_{V}

という

V

の基底を、選ばなければならないが、この最初の「基点」を取り換えると同一視の仕方も変わってしまうことになる。したがって、

GL (n, R)

のそれぞれの元に対して、

B_{V}

のどのような元を対応させて同一視を行っているのか、ということを常に意識する必要がある。

ところで、これまで線形空間

V

の基底の元の個数は変わらない、ということを暗黙の裡に承認して考察してきた。果たして、線形空間

V

の基底の元の個数は、基底の取り方によって変わらないのだろうか。

いま

m, n \in N

　として　

{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m}}, {f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}

も

V

の基底である、と仮定する。すると

{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m}}

は

V

の基底であるから適当な　ｍ行ｎ列　の行列

P

を用いて

(f_{1} f_{2} \dots f_{n}) = (e_{1} e_{2} \dots e_{m}) P

……(19)

全く同様にして

{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}

も

V

の基底であるから適当な　n行m列　の行列

Q

を用いて

(e_{1} e_{2} \dots e_{m}) = (f_{1} f_{2} \dots f_{n}) Q

……(20)

と書き表すことができる。
ここで(20)式に(19)式を代入すると

(e_{1} e_{2} \dots e_{m}) = (e_{1} e_{2} \dots e_{m}) P Q

より

P Q = I_{m}

(

I_{m} :

ｍ行ｍ列の単位行列) ……(21)

また全く同様に、(19)式に(20)式を代入すると

(f_{1} f_{2} \dots f_{n}) = (f_{1} f_{2} \dots f_{n}) Q P

より

Q P = I_{n}

(

I_{n} :

n行n列の単位行列) ……(22)

そこで、トレースのもつ重要な性質　

tr (A B) = tr (B A)

を援用すると

tr (P Q) = I_{m} = m

= tr (Q P) = I_{n} = n

すなわち(21)、(22)式を同時に満たすような行列

P, Q

が存在するためには　

m = n

でなければならないから、結局　

{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m}}, {f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}

がどちらも線形空間

V

の基底であると仮定すると、

m = n

　でなければならないことが分かる。
以上の考察より「線形空間

V

の基底の元の個数は基底の取り方には依らない」ことが分かる。

線形代数(6)

≪異なる基底はいくつあるか≫