表現行列の変換公式

V, W

を2つの線形空間として　

f : V \to W

という線形写像が与えられているときに、線形空間

V, W

　の基底を取り換えてそれぞれの線形空間の「番地割り」の仕方を変えたときに線形写像

f

の表現行列はどのように姿を変えるのだろうか？（

\dim_{R} V = 2, \dim_{R} W = 3

の場合で考えてみよう。）

いま　

V

の基底

{e_{1} e_{2}}

と

W

の基底

{f_{1} f_{2} f_{3}}

を勝手にひとつずつ取ってきて、これらの基底に関する線形写像

f : V \to W

の表現行列を

A

と表すことにする。
そこでさらに　

V と W

の基底を

{e_{1} e_{2}} \to {e_{1}^{'} e_{2}^{'}}

{f_{1} f_{2} f_{3}} \to {f_{1}^{'} f_{2}^{'} f_{3}^{'}}

というように取り換えたとして、これらの新しい基底に関する線形写像

f : V \to W

の表現行列を

A^{'}

と表すことにする。
すると、もともとの基底と新しい基底の間の関係は、適当な正則行列

P \in GL (2, R) Q \in GL (3, R)

を用いて

(e_{1}^{'} e_{2}^{'}) = (e_{1} e_{2}) P

……(1)

(f_{1}^{'} f_{2}^{'} f_{3}^{'}) = (f_{1} f_{2} f_{3}) Q

……(2)

というように表わすことができる。

「基底」の変換

そこで問題は、「新番地割り」のもとでの表現行列

A^{'}

は「旧番地割り」のもとでの表現行列

A

と「基底変換の行列」

P, Q

を用いてどのように表せるか、ということになる。

ところで、線形写像

f : V \to W

の表現行列を求めるには
(イ)　

V

の基底の元の行き先

f (e_{1}), f (e_{2}) \in W

の「番地」を求める。
（⇒これらの「番地」を並べたものが表現行列

A

になる）
(ロ)　基底｛

e_{1} e_{2}

｝を用いた「番地割り」、

V ≅ R^{2}

のもとで

V ∋ u = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} \leftrightarrow (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \in R^{2}

と対応しているときに、

f (u) \in W

の「番地」を　

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

を用いて表わす
（⇒このとき

W ∋ f (u) \overset{}{\leftrightarrow} A (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \in R^{2}

と対応しているはず）
という２つの方法を考えることができる。

先ずは、（イ）の方法で考えてみよう。
いま　

W

の基底｛

f_{1} f_{2} f_{3}

｝を用いた「旧番地割り」のもとで

f (e_{1}), f (e_{2}) \in W

に割り振られる「旧番地」を

W ∋ f (e_{1}) = a_{11} f_{1} + a_{21} f_{2} + a_{31} f_{3} \to (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}) \in R^{3}

W ∋ f (e_{2}) = a_{12} f_{1} + a_{22} f_{2} + a_{32} f_{3} \to (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}) \in R^{3}

というように表わすとする。

すると、「旧番地割り」のもとでの表現行列

A

とは、これらの「旧番地」を並べてできる行列だから

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix})

……(3)

というように表わされる。
ところで

f (e_{1}) = (f_{1} f_{2} f_{3}) (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix})

f (e_{2}) = (f_{1} f_{2} f_{3}) (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix})

より

(f (e_{1}) f (e_{2})) = (f_{1} f_{2} f_{3}) (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix})

……(4)

したがって、（３）（４）式より「旧番地割り」のもとでの表現行列とは

(f (e_{1}) f (e_{2})) = (f_{1} f_{2} f_{3}) A

……(5)

となるような3行2列の行列

A

のことであると考えることができる。
全く同様に、「新番地割り」のもとでの表現行列とは

(f (e_{1}^{'}) f (e_{2}^{'})) = (f_{1}^{'} f_{2}^{'} f_{3}^{'}) A^{'}

……(6)

となるような3行2列の行列

A^{'}

のことであると考えることができる。
したがって、いま問題は、「基底の間の関係式(1),(2)式と(5)式より(6)式が成り立つような3行2列の行列

A^{'}

を求めよ」ということ。すなわち、(1),(2),(5)式から、

e_{1}, e_{2} と f_{1}, f_{2}, f_{3}

を消去して

e_{1}^{'}, e_{2}^{'} と f_{1}^{'}, f_{2}^{'}, f_{3}^{'}

の間の関係式を導きなさい、ということになる。

そこで　まず(1)式　

(e_{1}^{'} e_{2}^{'}) = (e_{1} e_{2}) P

における

e_{1}^{'} e_{2}^{'}

を

(f (e_{1}^{'}) f (e_{2}^{'}))

に「化かす」ことを考えてみる。いま

P = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

と表わすことにすると、(1)式より

\{\begin{matrix} e_{1}^{'} = a e_{1} + c e_{2} \\ e_{2}^{'} = b e_{1} + d e_{2} \end{matrix}

……(7)

そこで(7)式の両辺に線形写像

f

を施してみると

\{\begin{matrix} f (e_{1}^{'}) = f (a e_{1} + c e_{2}) = a f (e_{1}) + c f (e_{2}) \\ f (e_{2}^{'}) = f (b e_{1} + d e_{2}) = b f (e_{1}) + d f (e_{2}) \end{matrix}

……(8)

行列の積で表わすと

\begin{matrix} (f (e_{1}^{'}) f (e_{2}^{'})) & = & (f (e_{1}) f (e_{2})) (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \\ = & (f (e_{1}) f (e_{2})) P \end{matrix}

……(9)

こうして（1）式におけるにおける

e_{1}^{'} e_{2}^{'}

を

(f (e_{1}^{'}) f (e_{2}^{'}))

に「化かす」ことができたから、後は(2)(5)(9)式から　

e_{1}, e_{2} と f_{1}, f_{2}, f_{3}

を消去して

e_{1}^{'}, e_{2}^{'} と f_{1}^{'}, f_{2}^{'}, f_{3}^{'}

の間の関係式を導きなさい、ということになる。
いま(9)式に(5)式を代入すると

\begin{matrix} (f (e_{1}^{'}) f (e_{2}^{'})) & = & (f (e_{1}) f (e_{2})) P \\ = & (f_{1} f_{2} f_{3}) A P \end{matrix}

……(10)

ところで、

Q

は正則行列であることに注意して、(2)式の両辺に右から

Q^{-1}

を掛け算してみると

\begin{matrix} (f_{1}^{'} f_{2}^{'} f_{3}^{'}) Q^{-1} & = & (f_{1} f_{2} f_{3}) Q Q^{-1} \\ = & (f_{1} f_{2} f_{3}) I \\ = & (f_{1} f_{2} f_{3}) \end{matrix}

したがって、

(f_{1} f_{2} f_{3}) = (f_{1}^{'} f_{2}^{'} f_{3}^{'}) Q^{-1}

……(11)

よって(11)式を(10)式に代入することで

\begin{matrix} (f (e_{1}^{'}) f (e_{2}^{'})) & = & (f_{1} f_{2} f_{3}) A P \\ = & (f_{1}^{'} f_{2}^{'} f_{3}^{'}) Q^{-1} A P \end{matrix}

……(12)

したがって、(6)式(12)式より

A^{'} = Q^{-1} A P

……(13)

となることが分かる。

次に（ロ）という方法にもとづいて考察してみよう。
まず

V

の元

u \in V

に割り振られる「旧番地」と「新番地」の間の関係について考えてみる。
いま

V

の基底｛

e_{1} e_{2}

｝を用いた「旧番地割り」のもとで

u

に割り振られる「旧番地」を

V ∋ u = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} \leftrightarrow {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧} \in {(R^{2})}_{旧}

というように表わすとすると、

u \in V

は行列の積を用いて

u = (e_{1} e_{2}) {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧}

……(14)

と表わすことができる。
ところで、

P

が正則行列であることに注意して(1)式の両辺に右から

P^{-1}

を掛け算してみると

(e_{1} e_{2}) = (e_{1}^{'} e_{2}^{'}) P^{-1}

……(15)

そこで(15)式を(14)式に代入することで

u = (e_{1} e_{2}) {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧} = (e_{1}^{'} e_{2}^{'}) P^{-1} {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧}

……(16)

一方、

u \in V

の「新番地」は同様に

V ∋ u = x_{1}^{'} e_{1}^{'} + x_{2}^{'} e_{2}^{'} \leftrightarrow {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新} \in {(R^{2})}_{新}

u = (e_{1}^{'} e_{2}^{'}) {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新}

……(17)

と表わすことができる。

そこで(16)式と(17)式を見比べてみると

{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新} = P^{-1} {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧}

……(18)

となることが分かる。
また(18)式の両辺に左から

P

を掛け算することで

{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧} = P {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新}

……(19)

となることも分かる。

以上から、もともとの基底｛

e_{1} e_{2}

｝と新しく取り替えた基底｛

e 1' e_{2}^{'}

｝の間に

(e_{1}^{'} e_{2}^{'}) = (e_{1} e_{2}) P P \in GL (2, R)

という関係があるときに

V

の元

u \in V

に割り振られる「旧番地」と「新番地」の間には

{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新} = P^{-1} {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧}

……(20

{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧} = P {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新}

……(21)

という関係があることが分かる。

そこで問題は、上の「旧番地」と「新番地」の間の関係公式を用いて「新番地割り」のもとでの表現行列

A^{'}

が、「旧番地割り」のもとでの表現行列

A

と基底変換の行列

P, Q

を用いてどのように表わされるのか、ということになる。
いま「新番地割り」のもとで、

V ∋ u \leftrightarrow {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新} \in {(R^{2})}_{新}

というように対応しているとする。すると(21)式より

u \in V

に対応する「旧番地」は

V ∋ u \leftrightarrow {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧} = P {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新} \in {(R^{2})}_{旧}

……(22)

となる。

ここで

f_{(u)} \in W

に対応する「旧番地」を

W ∋ f_{(u)} \leftrightarrow {(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})}_{旧} \in {(R^{3})}_{旧}

と表わすとすると、表現行列の定義から

{(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})}_{旧} = A {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})}_{旧}

……(23)

したがって、(22)式を(23)式に代入することで

{(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})}_{旧} = A P {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新}

……(24)

となる。
さらに線形空間

W

に対して(20)式の変換公式を適用すると

f_{(u)} \in W

に対応する「旧番地」と「新番地」の間には

{(\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ y_{3}^{'} \end{matrix})}_{新} = Q^{-1} {(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})}_{旧}

……(25)

という関係がある。
よって(24)式を(25)式に代入することで

f_{(u)} \in W

に対応する「新番地」は

W ∋ f_{(u)} = {(\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ y_{3}^{'} \end{matrix})}_{新} = Q^{-1} A P {(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix})}_{新} \in {(R^{3})}_{新}

……(26)

したがって(26)式から「新番地割り」のもとでの表現行列

A^{'}

は

A^{'} = Q^{-1} A P

……(27)

となることが分かる。

以上

{dim}_{R} V = 2 {dim}_{R} W = 3

の場合で、(イ)(ロ)の方法にもとづいて考察してきたが、より一般に

{dim}_{R} V = n {dim}_{R} W = m

として

(e_{1}^{'} e_{2}^{'} \dots e_{n}^{'}) = (e_{1} e_{2} \dots e_{n}) P P \in GL (n, R)

(f_{1}^{'} f_{2}^{'} \dots f_{m}^{'}) = (f_{1} f_{2} \dots f_{m}) Q Q \in GL (m, R)

という式により

V

や

W

の基底を

{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}} ⟼ {e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}

{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}} ⟼ {f_{1}^{'}, f_{2}^{'}, \dots, f_{m}^{'}}

というように取り替えると、線形写像

f : V \to W

の表現行列は

A ⟼ A^{'} = Q^{-1} A P

というように「姿」を変える。

線形代数(7)

≪表現行列の変換公式≫