linear2

発展・線形空間の「直和」

≪線形空間の直和≫

一般に、

W_{1} W_{2} \dots W_{m} を線型空間 V

の線型部分空間として、

W_{1} W_{2} \dots W_{m}

に属する元たちの和の形で表わされるような

V

の元全体の集合を、

W_{1} + W_{2} +\dots+ W_{m} = {u_{1} + u_{2} +\dots+ u_{m} \in V | u_{i} \in W_{i}, (i = 1 2 \dots m)}

と表わして、線型部分空間

W_{1} W_{2} \dots W_{m}

の「和」と呼ぶ。このとき、「和空間」

W_{1} + W_{2} +\dots+ W_{m} も V

の線型部分空間になる。
いま、与えられた線型空間 V をいくつかの線型部分空間に分解することを考えると、線型空間 Vの元も「成分分解」することになる。
例えば、

V = R^{3}

として、

W_{1} = {u_{1} = (\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}) \in R^{3} | x, y \in R} W_{2} = {u_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ y \\ z \end{matrix}) \in R^{3} | y, z \in R} という例を考えてみると u = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) というベクトルは (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) あるいは α + β = 2 として (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ α \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ β \\ 3 \end{matrix})

というように、幾通りにも分解することができる。なぜ、このようになるか、を考えてみると、この場合には、W1 と W2 が重なる方向

W_{1} \cap W_{2} = {(\begin{matrix} 0 \\ y \\ 0 \end{matrix}) \in R^{3} | y \in R} ≅ R

が現われることになり、「

R^{3} が W_{1} の方向と W_{2}

の方向に分解している」とは言えないことが分かる。

さて、

V

の勝手な元

u \in V

が、

u = u_{1} + u_{2} +\dots+ u_{m}

となるような元

u_{i} \in W_{i} (i = 1 2 \dots m)

で表わされているとする。
そこで、

u_{i}, u_{i}^{'} \in W_{i} (i = 1 2 \dots m) として、 u \in V が、 u = u_{1} + u_{2} +\dots+ u_{m} \dots (1) u = u_{1}^{'} + u_{2}^{'} +\dots+ u_{m}^{'} \dots (2)

というように、二通りに「成分分解」されたと仮定してみる。
このとき、(1)式から(2)式を引き算してみると、

0 = (u_{1} - u_{1}^{'}) + (u_{2} - u_{2}^{'}) +\dots+ (u_{m} - u_{m}^{'}) \dots (3) となることが分かる。

ところで、 u \in V が、 u = w_{1} + w_{2} +\dots+ w_{m} のように表わされる、とすると、 u = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ ⋮ \\ w_{m} \end{matrix})

というように、

W_{1}

方向の成分

w_{1} \in W_{1}

と、

W_{2}

方向の成分

w_{2} \in W_{2}

と、・・・・、

W_{m}

方向の成分

w_{m} \in W_{m}

に「成分分解」する、ということを表わしていると解釈することができる。
そこで、

V の原点 0 \in V

の「成分分解」が

0 = 0 + 0 +\dots+ 0 \dots (4)

という分解、すなわち、すべての方向成分が 0 である

u = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

という分解しか存在しない、と「仮定」してみる。

すると、(3)式は、原点

0 \in V

の「成分分解」を表わしている、と解釈することができるから

(u_{1} - u_{1}^{'}) = (u_{2} - u_{2}^{'}) =\dots= (u_{m} - u_{m}^{'}) = 0 となることが分かる。したがって、 u_{1} = u_{1}^{'} u_{2} = u_{2}^{'} ⋮ u_{m} = u_{m}^{'}

よって, (1)式の「成分分解」と (2)式の「成分分解」は, 同じ「成分分解」であることになる。ということは、(4)の条件を付与するならば、

V

の「成分分解」は「一意的」に表わされる、ということを意味している。

　以上の考察をまとめると、線型空間

V

と線型部分空間　

W_{1} W_{2} \dots W_{m}

の関係は

　　(イ)　和空間

勝手な元

u \in V

に対して、

u = u_{1} + u_{2} +\dots+ u_{m}

となるような元

u_{1} \in W_{1} u_{2} \in W_{2} \dots u_{m} \in W_{m}

が存在する。

V = W_{1} + W_{2} +\dots+ W_{m}

　　(ロ)　一意性

u_{1} \in W_{1} u_{2} \in W_{2} \dots u_{m} \in W_{m}

として、

V ∋ 0 = u_{1} + u_{2} +\dots+ u_{m} \Rightarrow u_{1} = u_{2} =\dots= u_{m} = 0 \dots (5)

となることが分かった。

(イ)、(ロ)の二つの条件がが満たされるときに、線型空間

V

は線型部分空間

W_{1} W_{2} \dots W_{m}

の「直和」であると言う。とくに、(ロ) という「成分分解」の一意性の条件が成り立っていることを強調して表わすために,「直和」に対しては,「 + 」という記号ではなく、「 ⊕ 」という記号を用いて

V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus\dots\oplus W_{m} \dots (6)

というように表わして、(6) 式の分解を線型部分空間

W_{1} W_{2} \dots W_{m}

による線型空間

V

の「直和分解」と呼ぶ。

ところで、いま、

m = 2

として、分解する成分の数が二つの場合を例に

W_{1} \cap W_{2} = {0} \dots (7)

を考えた場合、

W_{1} と W_{2}

には重なる方向が無いから、

W_{1} + W_{2} は W_{1} の方向と W_{2} の方向に

分解している、と考えることができる。
例えば、、

u_{1} \in W_{1}, u_{2} \in W_{2} として、原点 0 \in V

が

0 = u_{1} + u_{2} \dots (8)

というように表わされたと仮定してみる。このとき、(8)式を

u_{1} =- u_{2} というように書き直してみると u_{1} \in W_{1}, - u_{2} \in W_{2} となることが分かるから u_{1} =- u_{2} \in W_{1} \cap W_{2} よって、(7)式が成り立つと仮定すると u_{1} =- u_{2} = 0 u_{1} = u_{2} = 0

したがって、(ロ)という条件が成り立つことが分かる。

すると、

m = 2

　の場合には、線型空間

V

が、線型部分空間

W_{1} と W_{2}

の「直和」となる条件を、

　　(イ) 勝手な元

u \in V

に対して、

u = u_{1} + u_{2}

となるような元

u_{1} \in W_{1}, u_{2} \in W_{2}

が存在する。

　　(ロ)　

W_{1} \cap W_{2} = {0}

というように言い換えることができることが分かる。

そこで、線型空間

V

が線型部分空間　

W_{1}, W_{2}

に　

(\dim_{R} W_{1} = 2, \dim_{R} W_{2} = 1 として)

「直和分解」しているとすると、線型空間

V

が　

W_{1} の方向と、 W_{2}

の方向とに「分解」していることを、次のように確認することができる。

先ず、

W_{1} の基底 {e_{1}, e_{2}} と、 W_{2} の基底 {f_{1}}

を、勝手に一組ずつ取ってくると、

{e_{1}, e_{2}, f_{1}} が V

の基底になることを確認しておこう。
そのためには、(4)線形空間の考えとは-線形空間に「座標付け」する-　で見たように、

（I）　勝手な元

u \in V

にたいして

u = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + b_{1} f_{1}

となるような数

a_{1}, a_{2}, b_{1} \in R

が存在する。

（II）

a_{1}, a_{2}, b_{1} \in R

として

0 = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + b_{1} f_{1} \Rightarrow a_{1} = a_{2} = b_{1} = 0

となる

という二つの条件が満たされることを確かめればよい。

（I）の条件

「直和」に対する(イ)の条件より、

u = u_{1} + u_{2} \dots (9) となる元 u_{1} \in W_{1}, u_{2} \in W_{2} が存在する。

さらに、

{e_{1}, e_{2}} , {f_{1}}

が、それぞれ

W_{1}, W_{2}

の基底であること注意すると、

\{\begin{matrix} u_{1} = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} \\ u_{2} = b_{1} f_{1} \end{matrix} \dots (10)

となる実数

a_{1}, a_{2}, b_{1} \in R

が存在することが分かる。
そこで、(10)式を(9)式に代入すると、

u = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + b_{1} f_{1}

と表わせることから、(I) という条件が成り立つことが分かる。

（II）の条件

いま、

a_{1}, a_{2}, b_{1} \in R

として、

0 = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + b_{1} f_{1}

となると仮定してみる。すると

{e_{1}, e_{2}},{f_{1}}

は、それぞれ　

W_{1}, W_{2}

の基底であるから、

\{\begin{matrix} u_{1} = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} \\ u_{2} = b_{1} f_{1} \end{matrix} \dots (11)

という式によって、

u_{1}, u_{2} \in V

を定めると、

u_{1} \in W_{1}, u_{2} \in W_{2} であり、 0 = u_{1} + u_{2}

となることが分かる。よって、直和に対する (ロ) という条件から

u_{1} = u_{2} = 0 \dots (12)

すると、(11)、(12)式より

\{\begin{matrix} 0 = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} \\ 0 = b_{1} f_{1} \end{matrix}

{e_{1}, e_{2}},{f_{1}}

は、それぞれ　

W_{1}, W_{2}

の基底であることに注意すると、

a_{1} = a_{2} = b_{1} = 0

となることが分かる。よって、(II) という条件も成り立つことが分かる。

以上から、基底に対する (I), (II) という二つの条件が成り立つことが分かるから

{e_{1}, e_{2}, f_{1}} は、 V

の基底になる、ことが分かる。

そこで、基底

{e_{1}, e_{2}, f_{1}}

を用いて、

V ≅ R^{3}

というように「番地割り」して考えてみると、

W_{1} = {u_{1} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ 0 \end{matrix}) \in R^{3} | a_{1}, a_{2} \in R} ≅ R^{2} W_{2} = {u_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ b_{1} \end{matrix}) \in R^{3} | b_{1} \in R} ≅ R

となることが分かるから、確かに、線型空間

V が、 W_{1} の方向と、 W_{2}

の方向に分解していることが分かる。
一般に、線型空間

V

が、

V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus\dots\oplus W_{m}

というように直和分解しているときに、それぞれの線型部分空間

W_{i}

の基底を勝手に一組ずつ取ってきて、それらの基底の元をすべて集めたものを

{e_{1}, e_{2},\dots, e_{n}}

とすると、

{e_{1}, e_{2},\dots, e_{n}}

は

V

の基底となる。また、

{e_{1}, e_{2},\dots, e_{n}}

という基底を用いて、線型空間

V

に「番地割り」をして考えると、線型空間

V

が、

W_{1}

の方向,

W_{2}

の方向、・・・、

W_{m}

の方向に分解していることが分かる。

≪固有ベクトル空間分解≫

　そこで、固有ベクトル空間

V (λ) = {u \in C^{n} | A u = λ u}

について考えてみよう。

いま、

A

を３行３列の正方行列として、行列

A

が、正則行列

P

を用いて

P^{-1} A P = Λ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

というように対角化できる場合について考えてみる。

行列 P の列ベクトルを P = (p_{1} p_{2} p_{3}) と表わすことにすると P^{-1} A P = Λ \Rightarrow A P = P Λ \overset{}{\Leftrightarrow} A (p_{1} p_{2} p_{3}) = (p_{1} p_{2} p_{3}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) \overset{}{\Leftrightarrow} (A p_{1} A p_{2} A p_{3}) = (1 p_{1} 1 p_{2} 2 p_{3}) \overset{}{\Leftrightarrow} \{\begin{matrix} A p_{1} = p_{1} \\ A p_{2} = p_{2} \\ A p_{3} = 2 p_{3} \end{matrix}  \dots (13)

ところで、

P

は正則行列であるから、

{p_{1} p_{2} p_{3}}

を基底として、線型空間

V

の「番地割り」を新たに、

V ∋ u = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} + a_{3} p_{3} \to (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \in C^{3} \dots (14)

と表わすことにして、固有ベクトル空間

A u = λ u

を考えてみると

A u = A (a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} + a_{3} p_{3}) = a_{1} A p_{1} + a_{2} A p_{2} + a_{3} A p_{3} = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} + a_{3} \cdot 2 p_{3} (13)式より = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} + 2 a_{3} p_{3} したがって、 A u = u \overset{}{\Leftrightarrow} A u - u = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} 0 \cdot a_{1} p_{1} + 0 \cdot a_{2} p_{2} + 1 \cdot a_{3} p_{3} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} a_{3} = 0

となることが分かるから、行列

A

の固有値 1 に対応する固有ベクトル空間

V (1)

は、

V (1) = {u_{1} = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} \in V | a_{1}, a_{2} \in C} 全く同様に、 A u = 2 u \overset{}{\Leftrightarrow} A u - 2 u = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} -1 \cdot a_{1} p_{1} - 1 \cdot a_{2} p_{2} + 0 \cdot a_{3} p_{3} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} a_{1} = a_{2} = 0

したがって、行列

A

の固有値 2 に対応する固有ベクトル空間

V (2)

は、

V (2) = {u_{2} = a_{3} p_{3} \in V | a_{3} \in C}

となることが分かる。

すると、いま、

V

は

V (1) と V (2)

に分解されるわけだが、それが「直和分解」であることが、次のようにして分かる。
　

V

が、線型部分空間

V (1), V (2)

の直和となるための条件は、前節でみたように、

(イ)　勝手な元

u \in V

に対して、

u = u_{1} + u_{2}

となるような元

u_{1} \in V (1), u_{2} \in V (2)

が、存在する。
(ロ)　

u_{1} \in V (1), u_{2} \in V (2)

として、

0 = u_{1} + u_{2} \overset{}{\Rightarrow} u_{1} = u_{2} = 0

となる。

という二つの条件が満たされることが確かめられればよい。

　(イ) の条件について

いま、

u \in V

を勝手にひとつ取ってきたとして、

u

を

u = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} + a_{3} p_{3} と表わして、 \{\begin{matrix} u_{1} = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} \\ u_{2} = a_{3} p_{3} \end{matrix} と定めると、 V (1) = {u_{1} = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} \in V | a_{1}, a_{2} \in C} V (2) = {u_{2} = a_{3} p_{3} \in V | a_{3} \in C} となることが分かるから、 u_{1} \in V (1), u_{2} \in V (2) したがって、 u = u_{1} + u_{2}

　と表わせることが分かる。

　よって、(イ) という条件が成り立つ。

　(ロ) の条件について

いま、 u_{1} \in V (1), u_{2} \in V (2) として、 0 = u_{1} + u_{2} \dots (15) であると仮定してみる。このとき、 u_{1}, u_{2} を、 \{\begin{matrix} u_{1} = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} \\ u_{2} = a_{3} p_{3} \end{matrix} \dots (16) として、(16)式を(15)式に代入すると 0 = a_{1} p_{1} + a_{2} p_{2} + a_{3} p_{3}

ここで

{p_{1} p_{2} p_{3}} が V

の基底であることに注意すると、

a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0 \dots (17) となることが分かるから、(17)、(16)式より、 u_{1} = u_{2} = 0

となることが分かる.

　よって、(ロ) という条件も成り立つ。

以上から、(イ)、(ロ) という二つの条件が成り立つことが分かるから、線型空間

V

は、

V = V (1) \oplus V (2)

というように「直和分解」される、ことが分かる。

　全く同様に、

A

を３行３列の正方行列として、行列

A

が、正則行列

P

を用いて

P^{-1} A P = Λ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})

というように対角化できる場合、それぞれの固有ベクトル空間は

V (1) = {u_{1} = a_{1} p_{1} \in V | a_{1} \in C} V (2) = {u_{2} = a_{2} p_{2} \in V | a_{2} \in C} V (3) = {u_{3} = a_{3} p_{3} \in V | a_{3} \in C} となり、線型空間 V は V = V (1) \oplus V (2) \oplus V (3)

というように「直和分解」される。

より一般に、

A

を n 行n 列の行列として、行列

A

が、正則行列

P

を用いて、

P^{-1} A P = Λ

というように、対角化できる場合には、行列

A

の相異なる固有値を

λ_{1} λ_{2} \dots λ_{m} \in C

として、線型空間

C^{n}

が、

C^{n} = V (λ_{1}) \oplus V (λ_{2}) \oplus\dots\oplus V (λ_{m})

というように、「直和分解」する。このように「直和分解」することを、「固有ベクトル空間分解」と呼ぶ。

＜「牛腸作数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞

(1)行列の基本変形とはなにか
 (2)行列を「simpleな形」に変形する
 (3)基本変形により逆行列を求める
 (4)線形空間の考えとは
 (5)線形写像とは
 (6)異なる基底はいくつあるか
 (7)表現行列変換の基本
 (8)行列の対角化の問題
 (9)行列の対角化の問題(2)

行列式(1)行列式とはなにか
 行列式(2)行列式の実務計算
 行列式(3)行列式の余因子

 展開(1) 線型漸化式と行列
 展開(2) 線型常微分方程式

 発展　線型空間の「内積」構造(1)対称行列
 発展　線型空間の「内積」構造(2)直交行列
 発展　線型空間の「直和」

補論　Cramer の公式と「掃き出し法」
補論　Cayley-Hamilton の定理
 補論　行列値関数の微分

発展・線形空間の「直和」

≪線形空間の直和≫

≪固有ベクトル空間分解≫

＜「牛腸作 数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞

＜「牛腸作数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞