写像とは、一般に2つの集合 $A,B$ において、ある規則によって $A$ のどの要素にも、$B$ の要素が1つずつ対応しているとき、この規則を $A$ から $B$ への写像 (mapping) といい、記号 $f$ などを用いて $f:A\to B$ と表わす。したがって、集合 $A$ の各元に対してそれぞれ集合 $B$ の元をただひとつずつ指定するような規則 $f$ によって、〇〇写像とか呼ばれる。
そこで、「線形写像」とは、一般に、線形空間 $V,W$ に対して $V$ から $W$ への写像 $f:V\to W$ が
（イ）　勝手な２つの元 $u,v\ni V$ に対して （ロ）　勝手な元 $u\in V$ と勝手な実数 $c\in \mathbb{R}$ に対して という２つの条件を満たすとき、 $f:V\to W$ は線形写像である、という。
すなわち、線形空間は「足し算」や「スカラー倍」ができるという代数的な構造をもった集合として定義されるが、線形写像は、こうした線形空間の構造を保つような写像として定義される。

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ところで、線形空間は「基底」という概念を用いて線形空間に「番地割り」をすることができる。

線形空間に「座標付け」する

いま、２つの線形空間 $V,W$ の間の線形写像 $f:V\to W$ が勝手にひとつ与えられているとして、それぞれの線形空間 $V,W$ に「番地割り」をして、写像 $f$ を「番地」の言葉で表してみるときに、写像$f$ がどのような「姿」にみえるか、ということを考えてみる。（ $d_{\mathrm{imV}}=2$ ,$d_{\mathrm{imW}}=3$ と仮定する）
すなわち、線形空間$V$ の基底｛$e_1$,$e_2$｝ を勝手にひとつ取ってきて というように「番地割り」することで、$V\cong {\mathbb{R}}^2$ というように同一視して考えるとどういうことが分かるのか、ということを考えてみる。
すると、線形写像に対する（イ）（ロ）という２つの条件を用いると、勝手な元 に対して、$f\left(u\right)\in W$ は というように表わせる。したがって $e_1,e_2\in V$ という線形空間 $V$ の基底ベクトルの線形写像 $f$ による行き先 $f\left(e_1\right),f\left(e_2\right)\in W$ を決めると、勝手なベクトル $u\in V$ の行き先 $f\left(u\right)\in W$ も決まってしまう、ことが分かる。
そこでさらに、線形空間 $W$ の基底｛ $f_1,f_2,f_3$ ｝を勝手にひとつ取ってきて というように「番地割り」することで$W$ の方も $W\cong {\mathbb{R}}^3$ というように同一視して考えてみる。

このとき、$V$ の基底｛$e_1,e_2$｝の行き先、$f\left(e_1\right),f\left(e_2\right)\in W$ を、$W$ の基底である ｛ $f_1,f_2,f_3$ ｝ を用いて というように表わすとする。すなわち すると、線形空間$W$ 上の「足し算」や「スカラー倍」は　「番地の集合」${\mathbb{R}}^3$ 上の「足し算」や「スカラー倍」と対応するから ここで というように書き直せることに注意すると、結局 $f\left(u\right)\in W$ に対応する「番地」は となる。

すなわち、２つの線形空間$V,W$ の間の線形写像 $f:V\to W$ を「線形空間$V$ のどの点が、線形空間$W$ のどの点に写る」という形で写像$f$　を記述するのではなく、それぞれの線形空間$V,W$ に「番地割り」をして「線形空間$V$ のどの「番地」が線形空間$W$ のどの「番地」に写る」という形で写像$f$ を記述しようとすると、線形写像$f$ は行列$A$ を掛け算することによって定まる写像$f_A$ のように見え、行列の「姿」に化けることが分かる。
一般に、２つの線形空間 $V,W$ の間の線型写像 $f:V\to W$ に対しても全く同様の議論をすることができる。すなわち、この場合には として　 $V$ の基底｛ $e_1,e_2,e_3,\dots ,e_n$ ｝と $W$ の基底｛ $f_1,f_2,f_3,\dots ,f_m$ ｝を勝手にひとつずつ取ってきて という「番地割り」によって というように　「座標付け」してみると、線形写像$f$ は、適当な $m$ 行$n$ 列の行列 $A$ を掛け算するような写像$f_A$ のようにみえることがわかる。このようにして得られる行列$A$ を線形写像$f$ の（$V$ の基底｛ $e_1,e_2,e_3,\dots ,e_n$ ｝と $W$ の基底｛ $f_1,f_2,f_3,\dots ,f_m$｝に関する）表現行列 と呼ぶ。したがって、「基底」が変わると当然　「表現行列」も変わってくることに注意。