線形代数(11)

それでは、実際に行列式はどのように計算するのでしょうか？

　（いま、n 行 n 列の n 次の正方行列の行列式を

{|A|}_{n}

と表記することもある。）

例えば、教科書的定義に基づいて、

{|A|}_{n}

を、n! 個の項で表わすこともできる。
ここで、

{|A|}_{3}

を具体的に求めてみよう。
(i) 「サラスの方法」

A = (\begin{matrix} 3 & 5 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}) \dots (1) とすると、 \det A = 3・1・2+5・3・1+4・0・2 ―(4・1・1+5・2・2+3・0・3) = (6 + 15 + 0) -(4 + 20 + 0) = -3 と計算することができる。

ところで、(1)式の行列式はつぎのようにも計算することができる。
(ii) 「余因子」を用いる

|\begin{matrix} 3 & 5 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}| = 3 \cdot |\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix}| - 2 \cdot |\begin{matrix} 5 & 4 \\ 0 & 2 \end{matrix}| + 1 \cdot |\begin{matrix} 5 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix}| = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 10 + 1 \cdot 11 = -3 と計算することもできる。

また、(1)式の行列式はつぎのようにも計算することができる。
(iii) 「基本変形」を用いる(itはt行目)

|\begin{matrix} 3 & 5 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}| (i1-i2) = |\begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 0 & -7 & 1 \\ 0 & -4 & 1 \end{matrix}| (i2-i1・2,i3-i1) = |\begin{matrix} -7 & 1 \\ -4 & 1 \end{matrix}| = -7 -(-4)= -3

前回、行列式とは「符号つきの面積を対応させる関数」であり、このような関数は (イ),(ロ),(ハ)という三つの性質

(イ)　多重線形性：

\forall a_{1}, a_{1}^{'}, a_{2}, a_{2}^{'} \in R^{2}, \forall c \in R に対して、 つぎが成り立つ。 \{\begin{matrix} f (a_{1} + a_{1}^{'}, a_{2}) = f (a_{1}, a_{2}) + f (a_{1}^{'}, a_{2}) \\ f (c \cdot a_{1}, a_{2}) = c \cdot f (a_{1}, a_{2}) \end{matrix} \{\begin{matrix} f (a_{1}, a_{2} + a_{2}^{'}) = f (a_{1}, a_{2}) + f (a_{1}, a_{2}^{'}) \\ f (a_{1}, c \cdot a_{2}) = c \cdot f (a_{1}, a_{2}) \end{matrix}

(ロ)　歪対称性：

\forall a_{1}, a_{2} \in R^{2} に対して、 つぎが成り立つ。 f (a_{1}, a_{2}) =- f (a_{2}, a_{1}) (f (a_{1}, a_{1}) = 0)

(ハ)　規格化条件：

e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) に対して、 つぎが成り立つ。 f (e_{1}, e_{2}) = 1

で一意的に特徴づけられる、ということを見てきました。

そこで、実際に計算するにあたって、特に重要なことは、行列式の特徴である、(イ),(ロ)の性質を、しっかり理解することです。
いま、

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}), A^{'} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{matrix}) とすると \det A^{'} = 1 \cdot a \cdot d + 0 \cdot b \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot c - 1 \cdot c \cdot b - 0 \cdot 0 \cdot d - 0 \cdot a \cdot 0 = a d - b c \det A = a d - b c したがって、 \det A^{'} = \det A {|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{matrix}|}_{3} = {|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|}_{2} \dots (2) すると、 (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) という行列を分断して埋め込む、 |\begin{matrix} 0 & a & b \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & d \end{matrix}| が、 {|\begin{matrix} 0 & a & b \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & d \end{matrix}|}_{3} = - {|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|}_{2} \dots (3) となることも分かる。

これが、「サイズの大きな行列の行列式の計算」を「サイズがより小さな行列の行列式の計算」に帰着するための基本的な考え方です。すると、教科書的な行列式の定義式は全く使わずに, 機械的に行列式の計算を進めることができる。
そこで、実際に、どのようにして行列式の計算が進むのかということを 3行3列の場合で見てみよう。

いま、3行3列の行列 A を A = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) 行列 A の列ベクトルを、それぞれ、 a_{1} = (\begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix}), a_{2} = (\begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}), a_{3} = (\begin{matrix} c \\ f \\ i \end{matrix}) と表わすことにする。すると、例えば、 a_{1} \in R^{3} は (\begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix}) = a \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + d \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + g \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) と分解して表わせることに注意して、 (イ)の「多重線形性」という性質を用いると \det A = {|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}|}_{3} = a \cdot {|\begin{matrix} 1 & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} + d \cdot {|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 1 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} + g \cdot {|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 0 & e & f \\ 1 & h & i \end{matrix}|}_{3} \dots (4) となることが分かる。

そこで、(4)式の右辺第一項に注目すると、そこに現われる

a_{2} \in R^{3}

も

(\begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}) = b \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ e \\ h \end{matrix})

と分解して表わせることに注意して、

a_{2}

に関する線型性を用いると、

{|\begin{matrix} 1 & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} = b \cdot {|\begin{matrix} 1 & 1 & c \\ 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & i \end{matrix}|}_{3} + {|\begin{matrix} 1 & 0 & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} \dots (5)

ところで、(5)式の右辺第一項は、(ロ)の「歪対称性」という性質から、０になることが分かるから、

{|\begin{matrix} 1 & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} = {|\begin{matrix} 1 & 0 & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} \dots (6)

となることが分かる。そこで、さらに、

a_{3} \in R^{3}

を

(\begin{matrix} c \\ f \\ i \end{matrix}) = c \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ f \\ i \end{matrix})

と分解して、(6)式の右辺に同様の操作を行うと

{|\begin{matrix} 1 & 0 & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} = c \cdot {|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & h & 0 \end{matrix}|}_{3} + {|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} = {|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} \dots (7)

したがって、(4)式の右辺第一項に現われる行列式は(6),(7)より

{|\begin{matrix} 1 & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} = {|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} \dots (8)

というように書き直せる、ということが分かる。さらに、第二項、第三項についても

第二項 (\begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}) = e \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} b \\ 0 \\ h \end{matrix}) (\begin{matrix} c \\ f \\ i \end{matrix}) = f \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} c \\ 0 \\ i \end{matrix}) 第三項 (\begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}) = h \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} b \\ e \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} c \\ f \\ i \end{matrix}) = i \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} c \\ f \\ 0 \end{matrix})

と分解して、同様の操作を行うことで、

{|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 1 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} = {|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3}, {|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 0 & e & f \\ 1 & h & i \end{matrix}|}_{3} = {|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 0 & e & f \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}|}_{3} \dots (9)

となることが分かる。

したがって、det A は(4),(8),(9)式より

\det A = {|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}|}_{3} = a \cdot {|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} + d \cdot {|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & h & i \end{matrix}|}_{3} + g \cdot {|\begin{matrix} 0 & b & c \\ 0 & e & f \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}|}_{3}

というように、書き直せることが分かる。
そこで、さらに、(2),(3)式等の「基本的な原理」を適用すると、結局、

\det A = {|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}|}_{3} = a \cdot {|\begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix}|}_{2} - d \cdot {|\begin{matrix} b & c \\ h & i \end{matrix}|}_{2} + g \cdot {|\begin{matrix} b & c \\ e & f \end{matrix}|}_{2} \dots (10)

という式が得られる。
これが、具体的な計算例で行なった計算(ii)の「根拠」です。

ここでは、行列 A の一列目の列ベクトルに注目して、「一列目に関する行列式の展開式」を導出したが、同様の展開は, 他の列の列ベクトルに対しても行なうことができる。さらに、行列 A の n 個の行ベクトルに注目して、行ベクトルに対して、同様の考察を行なうことで、「行に関する行列式の展開式」を考えることもできる。

ところで、行列は、
〇行(列)に関する基本変形
（a）ある二つの行(列)を入れ替える
（b）ある行(列)に別な行(列)の何倍かを足す
（c）ある行(列)を何倍かする(ただし、0倍することは許さないものとする)
という三種類の操作を施すことが許される、のであった。
それでは、行列に「基本変形」を施すことで、行列式はどのように変化するだろうか？
(a),(b),(c)　というそれぞれのタイプの基本変形に対応した基本行列 E(a),E(b),E(c) は、

m, n \in R

として、例えば、

E(a) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), E(b) = (\begin{matrix} 1 & 0 & m \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), E(c) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

というような形で与えられるわけだが、これらの行列の行列式を計算してみると

\det E(a) = |\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| (j1 \leftrightarrow j2) = - |\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| = - 1 \det E(b) = |\begin{matrix} 1 & 0 & m \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} m \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})| = m \cdot |\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}| + |\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| = m \cdot 0 + 1 = 1 \det E(c) = |\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} n \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}| = n \cdot |\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}| = n

行列式の積は

\det (A B)= \det (B A)= \det A \cdot \det B が成り立つから \det (A E (a))= \det (E (a) A)= - \det A \det (A E (b))= \det (E (b) A)= \det A \det (A E (c))= \det (E (c) A)= n \cdot \det A となることが分かる。

特に、(b) のタイプの基本変形は行列式の値を変えないことが分かるから、このことを用いると、例えば(8)式も

|\begin{matrix} 1 & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}| = |\begin{matrix} 1 & 0 & c \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}| (2列目+1列目・(-b)) = |\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e & f \\ 0 & h & i \end{matrix}| (3列目+1列目・(-c))

というように簡単に導くことができる。

実際に行列式を計算するときには、いきなり、ある行やある列に関する展開を行なうのではなく、上のような基本変形を行や列に施して、ある行やある列になるべくたくさん 0 が出て来るような形に変形してから、その行やその列に関する展開を行なうと、計算が見やすくなるし、計算間違いも少なくなるかもしれません。

線形代数(16)

≪行列式の計算≫