linear2

演習　上三角化

4次正方行列

A

A = (\begin{matrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -1 & -2 \\ -5 & 1 & -2 & -3 \\ 5 & -6 & 9 & 3 \end{matrix}) に対して P^{-1} A P = Λ

となる上三角行列

Λ

と正則行列

P

を求める。

(イ) まず、

A

の固有値を求める。

φ_{A} (t) = \det (t I - A) |\begin{matrix} t -2 & -2 & 2 & -1 \\ 3 & t -1 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & t +2 & 3 \\ -5 & 6 & -9 & t -3 \end{matrix}| \begin{matrix} ① \\ ② \\ ③ \\ ④ \end{matrix} ② + ① \times 2 ➂ + ① \times 3 ④ + ① \times (t -3) |\begin{matrix} t -2 & -2 & 2 & -1 \\ 2 t -1 & t -5 & 5 & 0 \\ 3 t -1 & -7 & t +8 & 0 \\ t^{2} -5 t +1 & -2 t +12 & 2 t -15 & 0 \end{matrix}| 4列目で展開 +1 \cdot |\begin{matrix} 2 t -1 & t -5 & 5 \\ 3 t -1 & -7 & t +8 \\ t^{2} -5 t +1 & -2 t +12 & 2 t -15 \end{matrix}| |\begin{matrix} 2 t -1 & t -5 & 5 \\ 3 t -1 - \frac{(2 t -1) (t +8)}{5} & -7 - \frac{(t -5) (t +8)}{5} & 0 \\ t^{2} -5 t +1 - \frac{(2 t -1) (2 t -15)}{5} & -2 t +12 - \frac{(t -5) (2 t -15)}{5} & 0 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 2 t -1 & t -5 & 5 \\ \frac{(-2 t^{2} +3)}{5} & \frac{(- t^{2} -3 t +5)}{5} & 0 \\ \frac{(t^{2} +7 t -10)}{5} & \frac{(-2 t^{2} +15 t -15)}{5} & 0 \end{matrix}| = \frac{(5 t^{4} -20 t^{3} +30 t^{2} -20 t +5)}{25} = \frac{(t^{4} -4 t^{3} +6 t^{2} -4 t +1)}{5} = \frac{{(t -1)}^{4}}{5}

したがって、固有値

λ

とその重複度

α

は

λ = 1 α = 4

　(ロ) 固有値

λ = 1

に対する固有ベクトルを求める。

λ I - A = |\begin{matrix} -1 & -2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 5 & -1 & 3 & 3 \\ -5 & 6 & -9 & -2 \end{matrix}| 行の基本変形 ↓ |\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}| したがって、固有ベクトルとして v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix})

がとれることが分かる。そこで固有ベクトル

v_{1}

と1次独立となるようなベクトルを任意に3個とる。ここでは、逆行列が計算しやすいように

e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) e_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) e_{4} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) として P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) とおくと、 {P_{1}}^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

となることが分かる。

(ハ)　１列目を上三角化する。

{P_{1}}^{-1} A P_{1}

= (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -1 & -2 \\ -5 & 1 & -2 & -3 \\ 5 & -6 & 9 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & -3 & -1 \\ -3 & 3 & -4 & -2 \\ 7 & -4 & 7 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & -1 \\ 0 & 3 & -4 & -2 \\ 0 & -4 & 7 & 4 \end{matrix}) 無事に、１列目が「上三角化」出来た。 そこで、 B = (\begin{matrix} 3 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & -2 \\ -4 & 7 & 4 \end{matrix}) と置く。

　(二)　

B

の固有値、固有ベクトルを求め、

B

の１列目を「上三角化」する。

t I - B = (\begin{matrix} t -3 & 3 & 1 \\ -3 & t +4 & 2 \\ 4 & -7 & t -4 \end{matrix}) ②-① \times 2 ③-① \times (t -4) |\begin{matrix} t -3 & 3 & 1 \\ -2 t +3 & t -2 & 0 \\ - t^{2} +7 t -8 & -3 t +5 & 0 \end{matrix}| = (-2 t +3) (-3 t +5) - (t -2) (- t^{2} +7 t -8) = t^{3} -3 t^{2} +3 t -1 = {(t -1)}^{3} 固有ベクトルは、 (\begin{matrix} -2 & 3 & 1 \\ -3 & 5 & 2 \\ 4 & -7 & -3 \end{matrix}) \overset{行基本変形}{\to} (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) したがって、固有ベクトルは、 v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}) がとれる。

そこで、、固有ベクトル

v_{2}

と1次独立となるようなベクトルを任意に2個とる。

e_{3}^{'} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) e_{4}^{'} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) としよう。すると、 P_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix}) P_{2}^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) P_{2}^{-1} B P_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & -2 \\ -4 & 7 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & -3 & -1 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 7 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & -3 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 3 \end{matrix})

いま、状況は、

R = P_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix})

R^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot P_{1}^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{matrix})

R^{-1} A R = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -1 & -2 \\ -5 & 1 & -2 & -3 \\ 5 & -6 & 9 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & -3 & -1 \\ -2 & 0 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 4 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \end{matrix})

さらに、

C = (\begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix})

と置いて、固有値、固有ベクトルを求めると、

|\begin{matrix} t +1 & 1 \\ -4 & t -3 \end{matrix}| = t^{2} -2 t +1 = {(t -1)}^{2} 固有値 1 固有ベクトル (\begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix}) 任意の固有ベクトルを (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) とすると、 P_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}) P_{3}^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}) P_{3}^{-1} C P_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) したがって、 P = R \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -2 & 1 \end{matrix})

P^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix}) \cdot R^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{matrix})

　ようやくゴールに近づきました。
いま、

P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -2 & 1 \end{matrix}) P^{-1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{matrix}) とすると、 P^{-1} A P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -1 & -2 \\ -5 & 1 & -2 & -3 \\ 5 & -6 & 9 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 & -4 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & -2 \\ -1 & 2 & 4 & -3 \\ -1 & 0 & 3 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & -1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

　となって，無事に「上三角化」が完成です。

「上三角化」の注意点
「上三角化」の問題で、帰納法による証明をよく見かけるが、それで、すんなり計算できる人は少ないだろう。なかには、払い出し法や基本変形による「上三角化」と勘違いしている人もいるだろう。
正方行列

A, B に対し、 P^{-1} A P = B

を満たす正則行列

P

が存在するとき

A と B

は共役であるというが、ここでいう「上三角化」は、正則行列

P

を見つけて、共役な行列をつくることにある。
また、B についても固有値は A の固有値と同じであるが、固有ベクトルは線形独立な任意のベクトルをとれることから、一意に定めることができない。

＜「牛腸作数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞

(1)行列の基本変形とはなにか
 (2)行列を「simpleな形」に変形する
 (3)基本変形により逆行列を求める
 (4)線形空間の考えとは
 (5)線形写像とは
 (6)異なる基底はいくつあるか
 (7)表現行列変換の基本
 (8)行列の対角化の問題
 (9)行列の対角化の問題(2)

行列式(1)行列式とはなにか
 行列式(2)行列式の実務計算
 行列式(3)行列式の余因子

 展開(1) 線型漸化式と行列
 展開(2) 線型常微分方程式

 発展　(1)対称行列
 発展　(2)直交行列
 発展　線型空間の「直和」
発展　「直交補空間」

補論　Cramer の公式と「掃き出し法」
補論　Cayley-Hamilton の定理(1)
補論　行列値関数の微分

演習 上三角化

演習 上三角化

＜「牛腸作 数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞

演習　上三角化

演習　上三角化

＜「牛腸作数学Ⅱ演習」・独習ノートより＞