≪偏微分の順番≫

まず、偏微分の順番を考えるにあたって、 二変数関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ が連続微分可能であるということについて復習してみると、これは、一変数関数のときと全く同様に、次のように考えることができる。
いま、${\mathbb{R}}^2$ 上の勝手な点　$(x,y)\in \mathbb{R}2$　に対して、X方向の偏微分係数　$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$　が存在するとする。すると、それぞれの点　$(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$　に対して、　$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$　を対応させることにより、 という関数が得られる。これを、関数 $f(x,y)$　のX方向の一階偏導関数と呼ぶ。同様にして、Y方向の一階偏導関数 が定義できる。
さらに、これらの一階偏導関数　$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$　が存在して、それぞれ 　${\mathbb{R}}^2$　上の連続関数となるときに、関数 $f(x,y)$　を一階連続微分可能な関数とか、$C^1$ （連続を、英語で「continuous」）級の関数とか呼ぶ。
同様に, 勝手な自然数 $n\in \mathbb{N}$ に対して, n 階までの偏導関数 $f,\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\cdots ,\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^n}\hspace{0.5em},\cdots ,\frac{\hspace{1em}{\partial }^{n}f\hspace{1em}}{\partial x\partial y^{n-1}\hspace{1em}}\hspace{0.5em},\frac{{\partial }^{n}f}{\partial y^n}\hspace{1em}$ などが、すべて存在して、 ${\mathbb{R}}^2$　上の連続関数になるときに、関数 $f(x,y)$　を n 階連続微分可能な関数とか、略して $C^n$ 級の関数とか呼ぶ。また、何度でも偏微分でき、、すべての導関数が ${\mathbb{R}}^2$ 上の連続関数になるときに、関数 $f(x,y)$　を 滑らかな関数とか、略して $C^{\infty }$ 級の関数とか呼ぶ。

いま、二変数関数 $f(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$　の2階偏微分の偏導関数について考えてみます。
二変数関数 $f(x,y)$　の2階偏微分の偏導関数は、 と、書き表わすことができる。
(1_1) は、「X軸方向に動いたときの関数 $f(x,y)$ の値の変化率」のX軸方向への更なる変化率を、(1_4) は、「Y軸方向に動いたときの関数 $f(x,y)$ の値の変化率」のY軸方向への更なる変化率を表わしている。これらは、容易にイメージすることができる。さらに、(1_2) は、「X軸方向に動いたときの関数 $f(x,y)$ の値の変化率」のY軸方向へのブレの変化率を、(1_3) は、「Y軸方向に動いたときの関数 $f(x,y)$ の値の変化率」のX軸方向へのブレの変化率を表わしている。したがって、これらは、「概念としては異なるもの」であることに注意。

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例えば、次のような関数が与えられているとする。 すると、$(x,y)=\text{(0.0)}$　における偏微分は、
一方、、$(x,y)\ne \text{(0.0)}$　の場合は、 というように、「式一発で書けている」ので、偏微分は したがって、 となることが分かる。
そこで、二階偏導関数を求めてみると、 となり、 となることが分かる。一般には、こういうことが起こり得る。

ところで、皆さんは、「関数 $f(x,y)\text{\hspace{0.5em}が\hspace{0.5em}}{C}^2$ 級の関数ならば」 「が成立する」ということを、習う（か、習った）かもしれない。
しかし、上で見たように、(A) 式は、単に「偏微分可能である」ということから自動的に従う性質ではなくて、「関数 $f(x,y)\text{\hspace{0.5em}が\hspace{0.5em}}{C}^2$ 級である」、すなわち偏導関数が連続関数である、ということを要求している。

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「関数 $f(x,y)\text{\hspace{0.5em}が\hspace{0.5em}}{C}^2$ 級の関数ならば、$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y\hspace{1em}}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x\hspace{1em}}$　が成り立つ」

いま、$(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$　を、勝手にひとつ取ってくると、偏導関数の定義より、 さらに、勝手な実数 $x\in \mathbb{R}$　に対して、 と、それぞれ表わすことができる。 すると、（2）式の右辺の分子の各項は、（3）式より したがって、（2）式の右辺の分子は、 そこで、 とすると、 よって、（2）式、（4）式より と、表わせることが分かる。
全く同様に考えると、 と、表わすことができる。

さて、いま、 という、一変数関数を補助的に考えると、（4）式は と、表わすことができる。すると、「平均値の定理」より ところで、 したがって、 さらに、 とおくと、（8_1）式は と、表わすことができる。すると、「平均値の定理」より となるので、 ところで、 したがって、

一方、（4）式は と置くことにより と、表わすことができる。すると、「平均値の定理」より となるので、 と表わすことができる。ところで したがって、 いま、 と置くことにより、（9_1）式の{}の中は と、表わすことができる。すると、「平均値の定理」より となるので、 と表わすことができる。ところで したがって、

以上、みてきたように、（4）式は、（8_2）（9_2）式の2通りに書き表わすことができる。
ところで、任意の　$h,k\in \mathbb{R}$　に対して、それぞれに対応する　${\theta }_{1\ast },{\theta }_{2\ast },{\lambda }_{1\ast },{\lambda }_{2\ast }$ が存在することになるが、$|h|>|{\theta }_{\ast }h|,\hspace{0.5em}|{\lambda }_{\ast }h|\hspace{1em}|k|>|{\theta }_{\ast }k|,\hspace{0.5em}|{\lambda }_{\ast }k|$ と評価できることに注意すると、 となることが分かる。
したがって、 という極限がどうなるのかということを考えてみると、（6）式、（9_2）式より
同様に、（7）式、（8_2）式より

いま、(10)式では、${\lim }_{(h,k)\to \text{(0,0)}}$ という極限を考えているのに対して、(11)、(12)式では、${\lim }_{h\to 0}{\lim }_{k\to 0}$、あるいは、${\lim }_{k\to 0}{\lim }_{h\to 0}$ という極限を考えていることに注意。すなわち、(10)式では、hk平面上で近づき方は指定せずに、ともかく、点 $(h,k)\in {\mathbb{R}}^2$ が原点（0,0）に近づく状況を考えているのに対して、(11)、(12)式では、特別な仕方で、点 $(h,k)\in {\mathbb{R}}^2$ が原点（0,0）に近づく状況を考えている。特に、${\lim }_{h\to 0}{\lim }_{k\to 0}$　という順番で、点 $(h,k)$ を点（0,0）に近づけることを考えると、（11）式より という表示が得られ、${\lim }_{k\to 0}{\lim }_{h\to 0}$　という順番で、点 $(h,k)$ を点（0,0）に近づけることを考えると、（12）式より という表示が得られるが、もちろん、これら二つの表示は同じ極限の値を表わしているわけだから、 が成り立つ。
ところで、(13)式は、${\mathbb{R}}^2$　上の勝手な点　$(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$　に対して成立するので、${\mathbb{R}}^2$　上の関数として、 となることが分かる。これは、「ヤング*の定理」として知られている。

すると、例えば、$f(x,y)\text{\hspace{0.5em}が\hspace{0.5em}}{\mathbb{C}}^3$ 級の関数である場合、(A)式の両辺を $x$ について偏微分してみると、
また、$f\text{\hspace{0.5em}の代わりに\hspace{0.5em}}{\mathbb{C}}^2$ 級の関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ に対して (A)式を適用したのだと考えてみると となることが分かる。したがって、(13),(14)式より
このことは、「偏導関数は微分をする変数の順番に依らない」　ということを表わしている。
つまり、関数に複数回の偏微分を施す場合、偏微分する順序は問題でなく、$x\text{\hspace{0.5em}と\hspace{0.5em}}y$ に関して何回ずつ偏微分したのかだけを考慮すればよい、ということである。 すなわち、$f(x,y)\text{\hspace{0.5em}を\hspace{0.5em}}x$ について r 回、$y$ について (n-r) 回偏微分した場合、その結果を
と書き表わして、$f(x,y)$ の n 階の偏導関数という。

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* William Henry Young（ウィリアム・ヘンリー・ヤング）1863年10月20日–1942年7月7日イギリスの数学者
「ヤングの実験」のヤングは　Thomas Young, 1773年6月13日 - 1829年5月10日、イギリスの物理学者。

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＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

(1)テーラー展開とはなにか
(2)テーラー展開の注意点
(3)部分積分とテーラーの定理
(4)テーラーの定理・剰余項の考察
(5)テーラー多項式の考察
(6)テーラー展開の計算
(7)合成関数のテーラー展開
(8)近似式としてのテーラー展開
(9) a のまわりでのテーラー展開
(10)テーラーの定理・極限
(11)多変数のテーラー展開
補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
補論・級数の収束判定
補論・ロルの定理・考察
補論・偏微分(1)偏導関数
余録・バーゼル問題とテーラー展開