taylor

Taylor の定理(一般)

≪ x = a のまわりでのTaylor展開≫

勝手な滑らかな関数　

f_{(x)}

と勝手な自然数

n \in N

に対して「次元が有限な多項式の姿」に「化かす」と

f_{(x)} = f_{(0)} + f_{(0)}^{'} x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} +\dots

\dots+ \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + R_{n} (x)

……(1)

R_{n} (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} {(x - t)}^{n} f^{(n + 1} (t) d t

……(2)

という式が成り立つ。
また、剰余項　

R_{n} (x)

は「積分に関する平均値の定理」より

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!} x^{n + 1}

となるような実数

θ \in R が 0 と x

の間に存在する。
すると、(1)式は

f_{(x)} = f_{(0)} + f_{(0)}^{'} x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} +\dots

\dots+ \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!} x^{n + 1}

……(3)

と書き表わすことができる、ということを見てきた。
これまで、Taylor多項式　

P_{n} (x)

は

P_{n} (x) = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + b_{3} x^{3} +\dots

というような、「

x

のベキの形」をした Taylor多項式を考えてきた。というのも「

x = 0

の近くでは

x ≪ 1

となる」から「

x = 0

の近くで」関数

f_{(x)}

が「化け」ようとした「多項式の姿」が

P_{n} (x)

である、と解釈できるからであった。
それでは、「

x = 1 や x = -2

など、必ずしも原点とは限らない実数直線

R 上の点 a \in R

を考えた場合、

x = a

の近くで関数

f_{(x)}

はどのような「多項式の姿」に見えるのだろうか。
これまでの考察で「

x = 0

の近く」で関数

f_{(x)}

が　「

x

のベキの形」をした多項式と解釈できたのは「

x = 0

の近くでは

x ≪ 1

となる」からであった。したがって、勝手にひとつ取ってきた実数

a \in R

　に対して、「

x = a

の近くでの近似多項式」を考える場合、「化ける」べき「多項式の姿」として「

x

のベキの形」ではなく、

(x - a) ≪ 1

となる

(x - a)

のベキの形

f_{(x)} = c_{0} + c_{1} (x - a)+ c_{2} {(x - a)}^{2} + c_{3} {(x - a)}^{3} +\dots

が推測される。

ところで、(3)式において、一般の滑らかな関数

φ : R \to R に対して t \in R, n \in N

とすると

φ_{(t)} = φ_{(0)} + φ_{(0)}^{'} t + \frac{φ^{''} (0)}{2!} t^{2} + \frac{φ^{'''} (0)}{3!} t^{3} +\dots

\dots+ \frac{φ^{(n)} (0)}{n!} t^{n} + \frac{φ^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!} t^{n + 1}

……(4)

のように書き表わせ、そしてこのとき

θ は 0 と t

の間に存在する。
(4)式においてとくに　

t = 1

としてみると

φ_{(1)} = φ_{(0)} + φ_{(0)}^{'} + \frac{φ^{''} (0)}{2!} + \frac{φ^{'''} (0)}{3!} +\dots

\dots+ \frac{φ^{(n)} (0)}{n!} + \frac{φ^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!}

……(5)

となるような実数　

θ \in R が 0 と 1

の間に存在することになる。
（これが、一般の Taylorの定理を考察する鍵となる）

そこで、いま関数　

f_{(x)}

を剰余項付きで「

(x - a)

のベキの形をした多項式の姿」に「化かす」問題を考えるに、実数　

x \in R

が勝手にひとつ与えられたとして、実数直線

R

上で展開に中心点である

a \in R

と関数の値を考える点である　

x \in R

とを結ぶ直線を

c_{(t)} = (1 - t) a + t x = a + t (x - a)

として

φ_{(t)} = f_{(c (t))} = f (a + t (x - a))

という関数を補助的に考えてみる。すなわち、変数 t を時間と解釈して，時刻 t=0 で　a を出発して、時刻 t=1 で点 x に到着するような実数直線

R

上を一定の速度で運動するような粒子を考えたときに、時刻 t で粒子がいる場所での関数

f_{(x)} の値を φ_{(t)}

と定める、というイメージである。

ところで、

φ_{(t)}

の導関数は

{φ^{'}}_{(t)} = {f_{(c (t))}}^{'} = {f^{'}}_{(c (t))} {c^{'}}_{(t)}

= f^{'} (a + t (x - a)) (x - a)

{φ^{''}}_{(t)} = f^{''} (a + t (x - a)) {(x - a)}^{2}

⋮

{φ^{n}}_{(t)} = f^{n} (a + t (x - a)) {(x - a)}^{n}

したがって、

φ_{(1)} = f (a + 1 (x - a)) = f_{(x)}

φ_{(0)} = f_{(a)}

{φ^{'}}_{(0)} = {f^{'}}_{(a)} (x - a)

{φ^{''}}_{(0)} = {f^{''}}_{(a)} {(x - a)}^{2}

⋮

{φ^{(n)}}_{(0)} = {f^{(n)}}_{(a)} {(x - a)}^{n}

{φ^{(n +1)}}_{(θ)} = {f^{(n +1)}}_{(a + θ (x - a))} {(x - a)}^{n +1}

いま、

θ \in R が 0 と 1

の間にある実数とすると

a + θ (x - a) = C_{(θ)}

は、

a と x

の間にある実数であることに注意して、これらの計算結果を(5)式に代入すると、結局、一般の滑らかな関数　

f_{(x)}

に対して、

a, x \in R n \in N

として

f_{(x)} = f_{(a)} + f_{(a)}^{'} (x - a) + \frac{f^{''} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} +\dots

\dots+ \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (δ)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n +1}

……(6)

となる実数

δ \in R (δ = C_{(θ)} = a + θ (x - a))

が　

a と x

の間に存在する。こうして、一般の滑らかな関数　

f_{(x)}

を剰余項付きで「

(x - a)

のベキの形をした多項式の姿」に「化かす」ことができる。
こうして得られた(6)式の結果を「

x = a

のまわりでの Taylorの定理」と呼ぶ。また、(6)式の右辺に現われた n 次の多項式

P_{n} (x) = f_{(a)} + f_{(a)}^{'} (x - a) +\dots+ \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}

……(7)

を「

x = a

のまわりでの Taylor多項式」と呼ぶ。
また、「

x = a

のまわりでの Taylor多項式」は、(6)式をもとにして　

k = 1,2,3,..., n

に対して

\lim_{x \to a} \frac{f_{(x)} - P_{n} (x)}{{(x - a)}^{k}} = 0

が成り立つような n 次の多項式として一意的に特徴付けられることも分かる。

＜「牛腸作数学IB演習」・独習ノートより＞

(1)テーラー展開とはなにか
 (2)テーラー展開の注意点
 (3)部分積分とテーラーの定理
 (4)テーラーの定理・剰余項の考察
 (5)テーラー多項式の考察
 (6)テーラー展開の計算
 (7)合成関数のテーラー展開
 (8)近似式としてのテーラー展開
 (10)テーラーの定理・極限
 (11)多変数のテーラー展開
 補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
 補論・級数の収束判定
 補論・ロルの定理・考察
 補論・偏微分(1)偏導関数
 補論・偏微分(2)ヤングの定理
 余録・バーゼル問題とテーラー展開

Taylor の定理(一般)

≪ x = a のまわりでのTaylor展開≫

＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

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