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Taylor展開の計算

≪Taylor展開の計算≫

二つの関数　

g_{(x)}, h_{(x)}

の Taylor 多項式は計算できるものとしたときに、

g_{(x)} + h_{(x)} 2 g_{(x)} g_{(x)} h_{(x)} \frac{g_{(x)}}{f_{(x)}}

などの関数の Taylor 多項式をどのようにして求めることができるのか、すなわち「 Taylor 展開が計算できる関数たちの組み合わせ」として表わされる関数の Taylor展開が、それぞれの関数の Taylor展開からどのようにして計算できるのか、を考えてみよう。

まず、滑らかな関数

g_{(x)}

は

f_{(x)} = f_{(0)} + f_{(0)}^{'} x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} +\dots+ \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + R_{n} (x)

……(1)

R_{n} (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} {(x - t)}^{n} f^{(n + 1} (t) d t

……(2)

と書き表わすことができる。
いま、（1）式の右辺に現われる多項式の係数を

a_{k} = \frac{f^{(k)} (0)}{k!}

として、Taylor多項式を単に

P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} +\dots+ a_{n} x^{n}

……(3)

と書き表わすことにする。（以下、同様）
また（2）式の剰余項については、

t = x s

として、右辺に現われる積分の積分変数を

t から s

に変数変換すると　

(t (0 \to x) は s (0 \to 1), dt \to x ds)

R_{n} (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} {(x - x s)}^{n} f^{(n + 1)} (x s) x d s

= \frac{x^{n + 1}}{n!} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{n} f^{(n + 1)} (x s) d s

ここで

f_{(n + 1)} (x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{n} f^{(n + 1)} (x s) d s

とすると

R_{n} (x) = f_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1}

したがって

f_{(x)} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} +\dots+ a_{n} x^{n} + f_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1}

……(4)

また「積分に関する平均値の定理」を用いると

f_{(n + 1)} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!}

……(5)

となるような実数　

θ が 0 と x

の間に存在する。
このとき、

x \to 0 は θ \to 0

となるから

\lim_{x \to 0} f_{(n + 1)} (x) = \lim_{θ \to 0} \frac{f^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!}

= \frac{f^{(n + 1)} (0)}{(n + 1)!} = f_{(n + 1)} (0)

……(6)

という有限な値になることが分かる。

以上、前準備ができたので、まず

f_{(x)} = g_{(x)} + h_{(x)}

の場合について考えてみよう。
いま、

g_{(x)}, h_{(x)}

の Taylor展開を、それぞれ

g_{(x)} = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + b_{3} x^{3} +\dots

……(7)

h_{(x)} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} +\dots

……(8)

と表わすことにすると

f_{(x)} = g_{(x)} + h_{(x)}

= (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + b_{3} x^{3} +\dots)

+ (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} +\dots)

= (b_{0} + c_{0})+ (b_{1} + c_{1}) x + (b_{2} + c_{2}) x^{2} + (b_{3} + c_{3}) x^{3} +\dots

……(9)

と表わせることが分かるから、（9）式が Taylor展開を与えるのではないか、と思われる。

そこで、

g_{(x)}, h_{(x)}

の Taylor多項式を、それぞれ

{G n}_{(x)} = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} +\dots+ b_{n} x^{n}

……(10)

H_{n} (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} +\dots+ c_{n} x^{n}

……(11)

と表わすことにすると、

g_{(x)}, h_{(x)}

は（4）式を適用して

g_{(x)} = {G n}_{(x)} + g_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1}

……(12)

h_{(x)} = {H n}_{(x)} + h_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1}

……(13)

と表わせるから

f_{(x)} - ({G n}_{(x)} + {H n}_{(x)})

=(g_{(x)} + h_{(x)})- ({G n}_{(x)} + {H n}_{(x)})

=(g_{(x)} - {G n}_{(x)})+ (h_{(x)} - {H n}_{(x)})

= g_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1} + h_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1}

={g_{(n + 1)} (x) + h_{(n + 1)} (x)} x^{n +1}

ここで、

k = 0, 1, 2, 3,\dots, n

に対して

\lim_{x \to 0} \frac{f_{(x)} - ({G n}_{(x)} + {H n}_{(x)})}{x^{k}}

= \lim_{x \to 0} ( {g_{(n + 1)} (x) + h_{(n + 1)} (x)} x^{n +1})

= {g_{(n + 1)} (0) + h_{(n + 1)} (0)} \cdot 0

= 0

となることが分かる。
ところで、「Taylor多項式の考察」でみたように、

k = 0, 1, 2, 3,\dots, n

に対して

\lim_{x \to 0} \frac{f_{(x)} - {Q n}_{(x)}}{x^{k}} = 0

を満たすような n 次の多項式

{Q n}_{(x)} は、関数 f_{(x)}

の Taylor多項式　

{P n}_{(x)}

しか存在しないから

{P n}_{(x)} = {G n}_{(x)} + {H n}_{(x)}

となることが分かる。
したがって、

f_{(x)} = g_{(x)} + h_{(x)}

の Taylor多項式は（9）式のように計算され、関数　

f_{(x)}

の Taylor展開を与えていることが分かる。

（例）　

f_{(x)} = e^{x} + e^{- x}

の Taylor展開は

f_{(x)} = (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} +\dots)

+ (1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} +\dots)

= 2 (1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} +\dots)

次に、スカラー倍　

f_{(x)} = C g_{(x)}

をみてみよう。

いま（7）式の両辺に　

C

を掛けてみると　

f_{(x)} = C g_{(x)}

は

f_{(x)} = C g_{(x)}

= C (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + b_{3} x^{3} +\dots)

= C b_{0} + (C b_{1}) x + (C b_{2}) x^{2} + (C b_{3}) x^{3} +\dots

（12）式より

f_{(x)} - C {G n}_{(x)} = C g_{(x)} - C {G n}_{(x)}

= C (g_{(x)} - {G n}_{(x)})

= C (g_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1})

ここで、

k = 0, 1, 2, 3,\dots, n

に対して

\lim_{x \to 0} \frac{f_{(x)} - C {G n}_{(x)}}{x^{k}}

= \lim_{x \to 0} (C \cdot g_{(n + 1)} (x) \cdot x^{n +1})

= C \cdot g_{(n + 1)} (0) \cdot 0

= 0

したがって、前と同様、関数　

f_{(x)}

の Taylor多項式　

{P n}_{(x)}

は

{P n}_{(x)} = C {G n}_{(x)}

となることが分かる。

（例）

g_{(x)} = 2 \sin x

の Taylor展開は

= 2 (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\dots)

= 2 x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{60} -\dots)

さらに、

f_{(x)} = g_{(x)} h_{(x)}

の場合、
(7),(8)式より

f_{(x)} = g_{(x)} h_{(x)}

=(b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + b_{3} x^{3} +\dots)

\cdot(c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} +\dots)

=(b_{0} + c_{0})+(b_{1} c_{0} + b_{0} c_{1}) x

+(b_{0} c_{2} + b_{1} c_{1} + b_{2} c_{0}) x^{2} +\dots

……(14)

さて、Taylor多項式の積

{G n}_{(x)} \cdot {H n}_{(x)}

の多項式において(

l, m = 0, 1, 2,\dots, n

)　n次式以下の部分と (n+1)次式以上の部分をそれぞれ

{Q n}_{(x)} = \sum_{0 \leq l + m \leq n} b_{l} c_{m} x^{l + m}

{\overline{Q} n}_{(x)} = \sum_{n + 1 \leq l + m \leq 2 n} b_{l} c_{m} x^{l + m}

とすると

{G n}_{(x)} \cdot {H n}_{(x)} = {Q n}_{(x)} + {\overline{Q} n}_{(x)}

……(15)

また(12),(13)式より

g_{(x)} h_{(x)} = ({G n}_{(x)} + g_{(n + 1)} (x) x^{n +1})

\cdot ({H n}_{(x)} + h_{(n + 1)} (x) x^{n +1})

= {G n}_{(x)} {H n}_{(x)}

+ {G n}_{(x)} \cdot h_{(n + 1)} (x) x^{n +1}

+ {H n}_{(x)} \cdot g_{(n + 1)} (x) x^{n +1}

+ g_{(n + 1)} (x) x^{n +1} \cdot h_{(n + 1)} (x) x^{n +1}

したがって

f_{(x)} - {Q n}_{(x)} = g_{(x)} h_{(x)} - {Q n}_{(x)}

= {G n}_{(x)} {H n}_{(x)} - {Q n}_{(x)}

⋯

(= {\overline{Q} n}_{(x)})

+ {G n}_{(x)} \cdot h_{(n + 1)} (x) x^{n +1}

+ {H n}_{(x)} \cdot g_{(n + 1)} (x) x^{n +1}

+ g_{(n + 1)} (x) x^{n +1} \cdot h_{(n + 1)} (x) x^{n +1}

……(16)

ところで、(16)式の右辺に現われるすべての項が

x^{n +1}

で括れるから

k = 0, 1, 2, 3,\dots, n

に対して

\lim_{x \to 0} \frac{f_{(x)} - {Q n}_{(x)}}{x^{k}} = 0

となることが分かる。したがって

{P n}_{(x)} = {Q n}_{(x)}

となることが分かる。

（例）　

g_{(x)} = e^{x} h_{(x)} = \sin x

とすると (14)式より

e^{x} \sin x

の Taylor展開は

e^{x} \sin x =(1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} +\dots)

\cdot(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\dots)

= x + x^{2} +(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) x^{3} +\dots

= x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} +\dots

というように計算される。

最後に、

h_{(0)} \neq 0

として

f_{(x)} = \frac{g_{(x)}}{h_{(x)}}

の Taylor展開を考えてみよう。

いま、

f_{(x)} = g_{(x)} \cdot \frac{1}{h_{(x)}}

とすると積の計算であるから、問題は　

\frac{1}{h_{(x)}}

を求めることにある、と考えることができる。
そこで、

{\hat{h}}_{(x)} = \frac{1}{h_{(x)}}

　として関数　

{\hat{h}}_{(x)}

の Taylor展開を

{\hat{h}}_{(x)} = d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + d_{3} x^{3} +\dots

……(17)

h_{(x)} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} +\dots

……(18)

とすると、いま、

h_{(x)} {\hat{h}}_{(x)} = 1

　より

1 = h_{(x)} {\hat{h}}_{(x)}

=(c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} +\dots)

\cdot(d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + d_{3} x^{3} +\dots)

= c_{0} d_{0} + (c_{0} d_{1} + c_{1} d_{0}) x

+(c_{0} d_{2} + c_{1} d_{1} + c_{2} d_{0}) x^{2} +\dots

= 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} +\dots

係数を比較して

c_{0} d_{0} = 1

c_{0} d_{1} + c_{1} d_{0} = 0

c_{0} d_{2} + c_{1} d_{1} + c_{2} d_{0} = 0

⋮

いま、

h_{(0)} \neq 0

と仮定しているから　

c_{0} \neq 0

に注意すると上記の連立方程式を(18)式の係数を適用して上から順番に解くことができる。

例えば　

h_{(x)} = \cos x として {\hat{h}}_{(x)} = \frac{1}{\cos x}

とすると

1 = h (x) {\hat{h}}_{(x)}

=(1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \frac{x^{8}}{8!} +\dots)

\cdot(d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + d_{3} x^{3} +\dots)

= d_{0} + d_{1} x + (d_{2} - \frac{d_{0}}{2!}) x^{2} + (d_{3} - \frac{d_{1}}{2!}) x^{3} + (d_{4} + \frac{d_{0}}{4!} - \frac{d_{2}}{2!}) x^{4} +\dots

= 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{4} +\dots

より

d_{0} = 1

d_{1} = 0

d_{2} = \frac{d_{0}}{2} = \frac{1}{2}

d_{3} = \frac{d_{1}}{2!} = 0

d_{4} = \frac{d_{2}}{2!} - \frac{d_{0}}{4!} = \frac{5}{24}

⋮

したがって

{\hat{h}}_{(x)} = \frac{1}{\cos x}

= 1 + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{24} x^{4} +\dots

……(19)

ところで、

\tan x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} より

=(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} +\dots)

\cdot(1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{5}{24} x^{4} +\dots)

= x +(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) x^{3} +(\frac{1}{5!} - \frac{1}{3! \cdot 2!} + \frac{5}{24}) x^{5} +\dots

= x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} +\dots

というような計算もできる。

＜「牛腸作数学IB演習」・独習ノートより＞

(1)テーラー展開とはなにか
 (2)テーラー展開の注意点
 (3)部分積分とテーラーの定理
 (4)テーラーの定理・剰余項の考察
 (5)テーラー多項式の考察
 (7)合成関数のテーラー展開
 (8)近似式としてのテーラー展開
 (9) a のまわりでのテーラー展開
 (10)テーラーの定理・極限
 (11)多変数のテーラー展開
 補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
 補論・級数の収束判定
 補論・ロルの定理・考察
 補論・偏微分(1)偏導関数
 補論・偏微分(2)ヤングの定理
 余録・バーゼル問題とテーラー展開

Taylor展開の計算

≪Taylor展開の計算≫

＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

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