≪偏微分係数≫

２変数関数 $f(x,y)\text{に対して、}y=y_0\in \mathbb{R}$ を勝手にひとつ固定して $f(x,y)$ から という１変数の関数を作るとき、$g\left(x\right)\text{\hspace{0.5em}の\hspace{0.5em}}x=x_0$ での微分係数 のことを関数 $f(x,y)\text{\hspace{0.5em}の\hspace{0.5em}}(x,y)=(x_0,y_0)$ における x 方向の偏微分係数と呼び、その値を　 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ と表わす。これを（補助的に考えた $g\left(x\right)$ という関数を持ち出さずに）関数　$f(x,y)$ だけを用いて表わせば、 となる。すなわち、X方向の偏微分係数とは、「X方向に動いたときの関数 $f(x,y)$ の値の変化率」を表わしている。 Y方向の偏微分係数についても全く同様である。したがって、X方向の偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めたい場合は、変数 y を単なる定数と思って, 変数 x に関する普通の微分を計算すればよいから、計算自体はそれほど難しいことではない。
それでは、これは幾何学的には何を意味しているのだろうか？

ところで、一変数関数 f(x) は幾何学的には、変数 x に対応した点の位置を表わす「X 軸の方向」とは別に、「高さ」を表わす「Y 軸の方向」も考えて、 XY 平面上で X 軸上の点 x の上に「高さ」f(x) の点を考えて、x を色々と動かしたときに、こうした点（ $x,f(x))\in {\mathbb{R}}^2$ を集めてできる平面 ${\mathbb{R}}^2$ 内の図形 が、一変数関数 f(x) のグラフで、一般には一変数関数 f(x) のグラフ ${\Gamma }_f$ は一本の曲線になるとは限らないが、f(x) が連続関数の場合には、一変数関数 f(x) のグラフ ${\Gamma }_f$ を, 一本の繋がった曲線としてイメージすることができる。

同様のことを、二変数関数 f(x,y) に対して考えると、変数 (x,y) に対応した点の位置を表わす「XY 平面」とは別に、「高さ」を表わす「Z 軸の方向」も考えて、XYZ 空間上で、XY 平面上の点(x,y) の上に、「高さ」 f(x,y) の点を考えて、(x,y) をいろいろと動かしたときに、こうした点 $\text{(x,y,f(x,y))}\in {\mathbb{R}}^3$ を集めてできる空間 ${\mathbb{R}}^3$ 内の図形 が二変数関数 f(x,y) のグラフということになる。一般には、二変数関数のグラフは、空間 ${\mathbb{R}}^3$ 内の複雑な図形になり得るが、f(x,y) が連続関数の場合には、二変数関数のグラフ $\Gamma f$ を、一枚の繋がった曲面としてイメージすることができる。

そこで、勝手な点 $p_0=(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$ を通り、 $\mathbf{v}=(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ 方向を向いた直線を $\mathit{l}$ ,また点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\in {\mathbb{R}}^3$ を通り、Z軸と平行な直線を $\mathbf{L}$ として、直線 $l$ と直線 L を含む平面を $\mathbf{H}$ とする。 このとき、平面 H 上には $z=f(x,y)$ のグラフの切り口である曲線 $\mathbf{C}$ が現われるが、この曲線 C が平面 H 上でどのように表わされるのか、ということを考えてみる。
そこで、いま、 という式によって直線 $l$ 上の点　$c\left(t\right)$ を定めることにする。すると（2）式によって、直線 $l$ 上の点は、t というパラメータを用いてパラメータ付けされることになるが、点　$c\left(t\right)$ の上には「高さ」 $f_{\left(c\right(t))}$ のところに、曲線 $C$ 上の点が存在することになる。したがって、このパラメータ付けに関して 平面 H 上で曲線 $C$ は という一変数関数のづラフであると解釈することができる。

ここで、点 $(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$ は、パラメータ $t=0$ に対応するから、、点 $(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$ における、 $\mathbf{v}=(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ 方向の接線の傾きは という式で与えられる。

さて、（3）式の極限値を関数 $f(x,y)$ の偏微分を用いて表わしたいが、偏微分というのは、X 軸や Y 軸に平行な方向の値の変化しか表わせないから、（3）式の分子を、$f(x_0,y_0+hb)$ という値を仲立ちとして、 と書き直して考えてみると、（3）式は と書き表わせる。そこでさらに、 とすると
と表わすことができる。
いま、（6）では、変数 x の部分が $x=x_0$ と「ひとつ定まった値に固定されている」こと、$h\to 0\text{\hspace{0.5em}のとき\hspace{0.5em}}\Delta y\to 0$ となること、に注意すると、（6）から（4）式の右辺の第2項は となることが分かる。

一方、（5）の方でも変数 y の部分が、$y=y_0+\Delta y$ と「ひとつの定まった値に固定されているように見える」ことと、$h\to 0\text{\hspace{0.5em}のとき\hspace{0.5em}}\Delta x\to 0$ となること、に注意すると、同様にして となることが予想される。

ただし、この場合には（6）の場合と違って「固定されているように見える」 $y=y_0+\Delta y$ は、実際には h と共に動いているから（8）式の「等号が成り立つ」と断言するには（7）式の極限を検討する必要がある。
そこで、いま、（7）式の分子の大きさを見積もるために、取りあえず h もひとつの値が定まった「定数」と考えて という一変数の関数 ${\phi }_{\left(x\right)}$ を補助的に考えてみる。すると（7）式の分子は と表わすことができる。
そこで、${\phi }_{(x_0+\Delta x)}-{\phi }_{\left(x_0\right)}$ という値を「平均値の定理」を用いて表わすと と表わせるような実数 $\theta \in \mathbb{R}$ が、$x_0\text{\hspace{0.5em}と\hspace{0.5em}}{x}_0+\Delta x$ の間に存在する（参照　補論・ロルの定理）。

いま、、$y_0+\Delta y$ は単なる「定数」であることに注意すると、（9）式から と表わせるから
（10）式、（11）式と合わせて と表わせる。

ところで、 h の値を定数として考えてきたが、それぞれの実数 $h\in \mathbb{R}$ に対して、上の検討を行うことを考えると、補助的に考えた（9）式で与えられる関数 $\phi \left(x\right)$ は、一般には h が違うと異なる関数になるから $\phi \left(x\right)$ ではなく、 ${\phi }_h\left(x\right)$ などと表わすことにすれば、それぞれの実数　$h_{\mathbb{R}}$ に応じて「異なる関数」と意味が表現できることになる。また、それぞれの関数 ${\phi }_h\left(x\right)$ に対して（11）式を成り立たせるような　θ の値も、一般には h と共に変わり得るから ${\theta }_h$ と表わすとすると となる実数 ${\theta }_h\in \mathbb{R}\text{\hspace{0.5em}が\hspace{0.5em}}{x}_0\text{\hspace{0.5em}と\hspace{0.5em}}{x}_0+\Delta x$ の間に存在する。

ところで、 と評価できることに注意。
いま、微分する方向 $\mathbf{v}=(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ は勝手にひとつ固定して考えているので、（13）式より、 $h\to 0$ のとき したがって、 となる。
そこで、「$\frac{\partial f}{\partial x}(x,\hspace{0.5em}y)$ という関数の連続性」を用いると、結局（12）、（14）式から となるから（8）式の等号が成り立つ。

以上から、$C^1$ 級の関数 $f(x,y)$ に対して、$(x,y)=(x_0,y_0)$ における $\mathbf{v}=(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ という方向の接線の傾きは という式で与えられる。

そこで、いま、$|h|\ll 1$ であるとして（15）式を さらに、（16）式の両辺に h を掛けて $(ha,\hspace{0.5em}hb)=(\Delta x,\hspace{0.5em}\Delta y)$ として書き直すと いま、（17）式は、『$(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2\text{\hspace{0.5em}から\hspace{0.5em}}\mathbf{u}=(\Delta x,\Delta y)\in {\mathbb{R}}^2$ だけ離れると、関数 $f(x,y)$　の値は第一近似で　 だけ増える』ということを表わしている。
そこで、象徴的に と表わすこともできる。
そして、このことは、$(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$ という点において、$\mathbf{v}=(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ 方向の接線はすべて という式によって定まる平面に乗っている、ということを意味している。

ところで、$z=f(x,y)$ のグラフ上の点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\in {\mathbb{R}}^3$ からのズレを表わすベクトル $\mathbf{w}$ を として とすると、（19）式は ${\mathbb{R}}^3$ 上の内積を用いて　$<{\mathbf{n}}_0·\mathbf{w}>=0$ 　という形に表わすことができるから、（19）式により定まる平面は、点　$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\in {\mathbb{R}}^3$ を通り（20）式で与えられるベクトル ${\mathbf{n}}_0$　に直交するような平面であることが分かる。
以上から、$C^1$ 級の関数　 $f(x,y)$ のグラフには接平面が描けること、また、点　$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\in {\mathbb{R}}^3$ における接平面の方程式は（19）式で求めることができる。

---

例えば、 とすると となるから、$(x_0,y_0)=\text{(0,0)}$ での接平面の方程式は　$z=0$
また、$(x_0,y_0)=\text{(1,2)}$ での接平面の方程式は となる。

---

---

＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

(1)テーラー展開とはなにか
(2)テーラー展開の注意点
(3)部分積分とテーラーの定理
(4)テーラーの定理・剰余項の考察
(5)テーラー多項式の考察
(6)テーラー展開の計算
(7)合成関数のテーラー展開
(8)近似式としてのテーラー展開
(9) a のまわりでのテーラー展開
(10)テーラーの定理・極限
(11)多変数のテーラー展開
補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
補論・級数の収束判定
補論・ロルの定理・考察
補論・偏微分(2)ヤングの定理
余録・バーゼル問題とテーラー展開