≪Taylor多項式の特徴≫

勝手な滑らかな関数　$f_{\text{(}x\text{)}}$ と勝手な自然数 $n\in \mathbb{N}$ に対して「次元が有限な多項式の姿」に「化かす」と
という式が成り立つ。
いま、（1）式の右辺に現われる多項式 この多項式　$P_n\left(x\right)$ をTaylor多項式と呼ぶ。

また、剰余項　$R_n\left(x\right)$ は「積分に関する平均値の定理」より と書き表わすことができる。

すると、（1）式は　（3）式、（4）式を用いて いま、$f_{\left(x\right)}-P_n\left(x\right)\text{\hspace{0.5em}は\hspace{0.5em}}{x}^{n+1}$ で括れているから、$k=0,1,2,\cdots n$ に対して となることが期待される。
（5）式より ところで、$\theta \in \mathbb{R}\text{\hspace{0.5em}は\hspace{0.5em}}0\text{\hspace{0.5em}と\hspace{0.5em}}x$ の間にある実数だから、$x\to 0\text{\hspace{0.5em}のとき\hspace{0.5em}}\theta \to 0$ となる。
また　$k=0,1,2,\cdots n$ であるから $x$ のベキは１乗以上になっている。
したがって、（7）式の両辺で　$x\to 0$ とすると よって、$k=0,1,2,\cdots n$ に対して（6）式が成立する。
そこで、このような性質をもつ n次の多項式が Taylor 多項式 Pn($x$) のほかにも存在し得るのかどうか、考えてみよう。

いま、$Q_n\left(x\right)$ を n 次の多項式として、$Q_n\left(x\right)$ も　$k=0,1,2,\cdots n$ に対して を満たしている、と仮定する。
このとき、$Q_n\left(x\right)-P_n\left(x\right)$ という多項式を考えると、 両辺で　$x\to 0$ とすると、（6）式、（8）式より　 $k=0,1,2,\cdots n$ に対して いま、 とすると、$k=0$ の場合 次に　$k=1$ の場合を考えると 以下同様にして したがって、 より

すなわち、関数　$f_{\left(x\right)}$ の Taylor 多項式 は、「$k=0,1,2,\cdots n$ に対して（6）式が成り立つような n 次の多項式」として完全に特徴づけられる。
また、これを特徴づける他の多項式　$Q_n\left(x\right)$ は　関数　$f\left(x\right)$ の Taylor 多項式　 $P_n\left(x\right)$ と等しくならざるを得ない、ということが分かった。

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＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

(1)テーラー展開とはなにか
(2)テーラー展開の注意点
(3)部分積分とテーラーの定理
(4)テーラーの定理・剰余項の考察
(6)テーラー展開の計算
(7)合成関数のテーラー展開
(8)近似式としてのテーラー展開
(9) a のまわりでのテーラー展開
(10)テーラーの定理・極限
(11)多変数のテーラー展開
補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
補論・級数の収束判定
補論・ロルの定理・考察
補論・偏微分(1)偏導関数
補論・偏微分(2)ヤングの定理
余録・バーゼル問題とテーラー展開