taylor

多変数関数

多変数関数のテーラー展開

今回は、多変数関数

f : R^{n} \to R

に対してテーラー展開がどういうことになるのかということを考えてみることにします。
考え方の本質は, 二変数関数のときにすべて現われているから, 以下の考察では, 二変数関数

f (x, y)\in R^{2}

を主な対象として考えていきます。

ところで、Taylor展開の基本は、一般の関数を「多項式の姿」に「化かす」ことで「多項式の姿」を通して関数の様子を理解すること、にあります。そこで、まず、、二変数関数

f (x, y)

がどのような「多項式の姿」に「化ける」ことができるか、ということを考えた場合、

x^{0} y^{0}, x^{1} y^{0}, x^{0} y^{1}, x^{2} y^{0}, x^{1} y^{1}, x^{0} y^{2},\dots, x^{k} y^{m},\dots

というような多項式の元が考えられる。そこで、それぞれの係数を

C_{i, j}

というように表わすとすると、滑らかな二変数関数

f (x, y)\in R^{2}

は、

f (x, y)= \sum_{k, m = 0}^{\infty} C_{k, m} x^{k} y^{m}

= C_{0, 0} + C_{1, 0} x + C_{0, 1} y

+ C_{2, 0} x^{2} + C_{1, 1} x y + C_{0, 2} y^{2}

+ C_{3, 0} x^{3} + C_{2, 1} x^{2} y + C_{1, 2} x y^{2} + C_{0, 3} y^{3} +\dots

…… (1)

というように「多項式の姿」に「化ける」と考えることができる。そこで、係数

C_{k, m}

としてどのような値がもっともらしいのか、ということを考えてみます。
考え方の基本は、一変数関数のときと同様に、(1)式を微分していくわけですが、(1)式は二変数関数ですから偏微分になります。ところで、偏微分する場合、「滑らかな関数に対しては、高階の偏導関数は偏微分を行なう変数の順番によらない」（ヤングの定理）ということに注意します。

(x, y)= (0, 0)

…… (A)

C_{0, 0} は、(1)に(A)を代入して C_{0, 0} = f (0, 0)

次に、(1)式の両辺を x で偏微分してから (A) を代入

C_{1, 0} = \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0)

いま、(1)式の両辺を x に関して k 回、y に関して m 回偏微分してから (x,y)=(0,0) としてみると、

\frac{\partial^{k + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (0, 0)= k! m! \cdot C_{k, m}

となる。したがって、係数

C_{k, m}

は、

C_{k, m} = \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{k + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (0, 0)

となることが分かる*。すると、滑らかな二変数関数

f (x, y)

は、

f (x, y)= \sum_{k, m = 0}^{\infty} \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{k + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (0, 0) x^{k} y^{m}

= f (0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) x + \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) y

+ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (0, 0) x^{2} + \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (0, 0) x y + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (0, 0) y^{2}

+ \frac{1}{6} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} (0, 0) x^{3} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} (0, 0) x^{2} y + \frac{1}{2} \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}} (0, 0) x y^{2}

+ \frac{1}{6} \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}} (0, 0) y^{3} +\dots

…… (2)

という「多項式の姿」に「化ける」と考えることができる。

* 三変数の場合、係数は

C_{k, l, m} = \frac{1}{k! l! m!} \frac{\partial^{k + l + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{l} \partial z^{m}} (0, 0, 0)

と推測される。

二変数関数に対する「Taylorの定理」

まず、一般の滑らかな関数

f (x)

を「おつりの項」を付けて「ｎ次の多項式の姿」に「化かす」ことができる、という事実を「Taylorの定理」という。
ところで、一変数関数の場合どうであったかを復習すると、一変数関数に対する Taylor 展開を考えた場合、勝手な滑らかな関数

f : R \to R

と、勝手な自然数

n \in N

に対して

f_{(x)} = f_{(0)} + f_{(0)}^{'} x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} +\dots+ \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + R_{n} (x)

……(3)

というように、剰余項付きで「次数が有限の多項式の姿」に「化かす」ことができる。
ここで、剰余項

R_{n} (x)

は、微積分学の基本定理から始めて部分積分を繰り返すという方針を取ると（部分積分とテーラーの定理）

R n (x)= \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} {(x - s)}^{n} f^{(n + 1)} (s) d s

……(4)

という表示が得られ、さらに (4)式の右辺の積分に対して「積分に関する「平均値の定理」」を適用すると

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!} x^{n + 1}

……(5)

となるような実数

θ \in R が 0 と x

の間に存在する。したがって、

f_{(x)} = f_{(0)} + f_{(0)}^{'} x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} +\dots

+ \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!} x^{n + 1}

……(6)

として、剰余項付きで「次数が有限の多項式」に「化かす」ことができた。

そこで、二変数関数を、剰余項付きで「次数が有限の多項式」に「化かす」ことを考えてみよう。
いま、

(a, b)\in R^{2}

という点を勝手にひとつ取ってきて、原点(0,0) と

(a, b)

という2点を結ぶ直線

c (t)= (t a, t b)

を考えて、この直線上での関数

f (x, y)

の値を

φ (t)

とする。すなわち

φ (t)= f (c (t)) = f (t a, t b)

……(7)

という一変数関数を補助的に考えてみる。（

t = 0

で原点にあって

t = 1 で (a, b)

に辿り着くことになる）
いま、一変数関数の Taylor展開 (6)式の関数　

f を φ 変数 x を t

として、とくに

t = 1

とすると、

φ_{(1)} = φ_{(0)} + φ_{(0)}^{'} + \frac{φ^{''} (0)}{2!} + \frac{φ^{'''} (0)}{3!} +\dots + \frac{φ^{(n)} (0)}{n!} + \frac{φ^{(n + 1)} (θ)}{(n + 1)!}

……(8)

と表わせ、

θ \in R が 0 と 1

の間に存在することになる。
そこで、(7)式で与えられている

φ (t)

という一変数関数に対して、上の (8)式を適用することを考えてみよう。そのためには、

φ^{'} (t), φ^{''} (t)\dots

を求める必要がある。

まずは、

φ^{'} (t)

について
いま、

t_{0} \in R

を勝手にひとつ取ってきたときに、関数

φ (t) の t = t_{0}

における微分係数

φ^{'} (t_{0})

は定義により、

φ^{'} (t_{0})= \lim_{h \to 0} \frac{φ (t_{0} + h)- φ (t_{0})}{h}

いま、関数は (7)式で与えられているから

φ^{'} (t_{0})= \lim_{h \to 0} \frac{f ((t_{0} + h) a,(t_{0} + h) b) - f (t_{0} a, t_{0} b)}{h}

というように表わされる。
ここで、

(x_{0}, y_{0})= (t_{0} a, t_{0} b)

とおくと、

φ^{'} (t_{0})= \lim_{h \to 0} \frac{f ((x_{0} + h a, y_{0} + h b)- f (x_{0}, y_{0})}{h}

……(9)

ところで、（9）式の右辺は＜補論・偏微分(1)偏導関数＞で「

(x, y)=(x_{0}, y_{0})

における関数「

f (x, y) の V (a, b)

方向の接線の傾き」で考察した式と同じ式であることに注意し、その結果を流用すると、

φ^{'} (t_{0})= (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0})\cdot a + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})\cdot b)

= \frac{\partial f}{\partial x} (t_{0} a, t_{0} b)\cdot a + \frac{\partial f}{\partial y} (t_{0} a, t_{0} b)\cdot b

いま、

t_{0} \in R

は勝手に取ってきた数であるから、「変数らしく」

t_{0} を、再び t

と置き換えると、

φ^{'} (t)= \frac{\partial f}{\partial x} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial f}{\partial y} (t a, t b)\cdot b

……(10)

これを、関数

f (x, y)

だけを用いて表わせば、

\frac{d}{d t} f (t a, t b)= \frac{\partial f}{\partial x} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial f}{\partial y} (t a, t b)\cdot b

……(11)

次に、

φ^{'} (t)

に対する (10)式という表示を用いて

φ^{''} (t)

を求める、ことを考える。
そのためには、

\frac{d}{d t} {\frac{\partial f}{\partial x} (t a, t b)} \frac{d}{d t} {\frac{\partial f}{\partial y} (t a, t b)}

を求める必要があるが、いま、関数

\frac{\partial f}{\partial x} を f だと思って f \sim \frac{\partial f}{\partial x}

と置き換えて (11)式を適用すると、

\frac{d}{d t} {\frac{\partial f}{\partial x} (t a, t b)} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (t a, t b)\cdot b

……(12_1)

同様に、関数

\frac{\partial f}{\partial y} を f だと思って f \sim \frac{\partial f}{\partial y}

と置き換えて (11)式を適用すると、

\frac{d}{d t} {\frac{\partial f}{\partial y} (t a, t b)} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (t a, t b)\cdot b

……(12_2)

ところで、偏微分する場合、「滑らかな関数に対しては、高階の偏導関数は偏微分を行なう変数の順番によらない」（ヤングの定理）ということに注意すると、

φ^{''} (t)

は、(12_1),(12_2)式より

φ^{''} (t)= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (t a, t b)\cdot a^{2} + 2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (t a, t b)\cdot a b + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (t a, t b)\cdot b^{2}

……(12)

以下、同様に計算すると、

\frac{d}{d t} {\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (t a, t b)} = \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}} (t a, t b)\cdot b

……(13_1)

\frac{d}{d t} {\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (t a, t b)} = \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial x \partial y} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x \partial y} (t a, t b)\cdot b

……(13_2)

\frac{d}{d t} {\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (t a, t b)} = \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}} (t a, t b)\cdot b

……(13_3)

したがって、

φ^{'''} (t)

は

φ^{'''} (t)= {\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}} (t a, t b)\cdot b} \cdot a^{2}

+ 2 {\frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial x \partial y} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x \partial y} (t a, t b)\cdot b} \cdot a b

+ {\frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}} (t a, t b)\cdot a + \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}} (t a, t b)\cdot b} \cdot b^{2}

よって、

φ^{'''} (t)= \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} (t a, t b)\cdot a^{3} + 3 \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} (t a, t b)\cdot a^{2} b

+ 3 \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}} (t a, t b)\cdot a b^{2} + \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}} (t a, t b)\cdot b^{3}

……(13)

いま、(11),(12),(13)式の係数を見ると、[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1] で、二項係数になることが推測される。
ちなみに、（11）式を適用して繰り返される t の微分は

φ^{(n)} (t) = {{(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y})}^{n} f} (t a, t b)

……(14)

と、考えることもできて、t　で微分するごとに現われる関数のパターンは二項係数に関するパスカルの三角形と同じ形になることが分かる。
すると、一般に勝手な自然数

n \in N

に対して、

φ^{(n)} (t)= \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k!(n - k)!} \frac{\partial^{n} f}{\partial x^{k} \partial y^{n - k}} (t a, t b) \cdot a^{k} b^{n - k}

と表わすことができる。

これらの結果を、(8)式に当てはめてみると、(7)式より

φ (1) = f (a, b)

を表わしているから

f (a, b)= \sum_{\begin{matrix} 0 \leq k, m \\ 0 \leq k + m \leq n \end{matrix}} \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{k + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (0,0) \cdot a^{k} b^{m} + R n

= f (0,0) + \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) \cdot a + \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) \cdot b +

+ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (0,0) \cdot a^{2} + \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (0,0) \cdot a b + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (0,0) \cdot b^{2}

+ \frac{1}{6} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} (0,0) \cdot a^{3} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} (0,0) \cdot a^{2} b + \frac{1}{2} \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}} (0,0) \cdot a b^{2}

+ \frac{1}{6} \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}} (0,0) \cdot b^{3} +\dots+ R n

また、剰余項

R n

は、

R n = \sum_{\begin{matrix} 0 \leq k, m \\ k + m = n +1 \end{matrix}} \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{n +1} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (θ a, θ b) \cdot a^{k} b^{m}

という表示が得られる。

上の展開式は、

(a, b)\in R^{2}

という点を勝手にひとつ取ってきた場合で、点

(a, b)

が変わると、それぞれに対応した

θ (a, b)

が存在することになる。そのことに注意して、

(a, b)

を「変数らしく」

(x, y)

で表わすと、結局、勝手な点

(x, y)\in R^{2}

に対して、

f (x, y)= \sum_{\begin{matrix} 0 \leq k, m \\ 0 \leq k + m \leq n \end{matrix}} \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{k + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (0,0) \cdot x^{k} y^{m} + R n (x, y)

= f (0,0) + \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) \cdot y +

+ \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (0,0) \cdot x^{2} + \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (0,0) \cdot x y + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (0,0) \cdot y^{2}

+ \frac{1}{6} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} (0,0) \cdot x^{3} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} (0,0) \cdot x^{2} y + \frac{1}{2} \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}} (0,0) \cdot x y^{2}

+ \frac{1}{6} \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}} (0,0) \cdot y^{3} +\dots+ R n (x, y)

R n (x, y) = \sum_{\begin{matrix} 0 \leq k, m \\ k + m = n +1 \end{matrix}} \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{n +1} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (θ_{(x, y)} x, θ_{(x, y)} y) \cdot x^{k} y^{m}

となるような実数

θ_{(x, y)} \in R

が　０と 1 の間に存在する。
こうして（8）式をもとにして、二変数関数に対する「 Taylor の定理」を導くことができる。

また、より一般に、

p_{0} =(x_{0}, y_{0}) \in R^{2}

のまわりでの Taylor 展開を考えるとすれば、

(x_{0}, y_{0}),(x, y) \in R^{2}

という2点を結ぶ直線を考えて、その直線上での関数

f (x, y)

の値を与える

φ (t) = f (x_{0} + t (x - x_{0}), y_{0} + t (y - y_{0}))

……(15)

という一変数関数を補助的に考えてみる。すると、合成関数の偏導関数

二変数関数　

z = f (x, y) で x = ψ (t) y = ω (t)

ならば、

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t}

この導出は上で考察した。

そこで、これまでの議論を準用すると、

φ^{'} (t)= \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0} + t (x - x_{0}), y_{0} + t (y - y_{0})) (x - x_{0})

+ \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0} + t (x - x_{0}), y_{0} + t (y - y_{0})) (y - y_{0})

φ^{''} (t)= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0} + t (x - x_{0}), y_{0} + t (y - y_{0})) {(x - x_{0})}^{2}

+ 2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0} + t (x - x_{0}), y_{0} + t (y - y_{0})) (x - x_{0}) (y - y_{0})

+ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x_{0} + t (x - x_{0}), y_{0} + t (y - y_{0})) {(y - y_{0})}^{2}

一般に勝手な自然数

n \in N

に対して、

φ^{(n)} (t)= \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k!(n - k)!} \frac{\partial^{n} f}{\partial x^{k} \partial y^{n - k}} (x_{0} + t (x - x_{0}), y_{0} + t (y - y_{0})) \cdot({x - x_{0})}^{k} {(y - y_{0})}^{n - k}

と表わすことができる。

これらの結果を（15）式に注意しながら、（8）式に準用すると、勝手な点

p =(x, y)\in R^{2}

に対して、（

t = 0 で p_{0}

にあって、

t = 1 で p

に至る）

f (p)= \sum_{\begin{matrix} 0 \leq k, m \\ 0 \leq k + m \leq n \end{matrix}} \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{k + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (p_{0}) \cdot({x - x_{0})}^{k} {(y - y_{0})}^{m} + R n (p)

……(16)

R n (p)= \sum_{\begin{matrix} 0 \leq k, m \\ k + m = n + 1 \end{matrix}} \frac{1}{k! m!} \frac{\partial^{k + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{m}} (q) \cdot({x - x_{0})}^{k} {(y - y_{0})}^{m}

となるような点

q \in R^{2}

が、点

p_{0} と、点 p

を結ぶ線分上に存在する。

　ところで、いま、新たに

a = x - x_{0}, b = y - y_{0}

とすると、(16)式の n次テーラー展開は

f (x_{0} + a, y_{0} + b)≒ \sum_{h = 0}^{n} \frac{1}{h!} {(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y})}^{h} f (x_{0}, y_{0})

……(17)

と書くことができる。

いま、二変数の偏導関数を

f_{x} (x, y)= \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) f_{x y} (x, y)= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x} (x, y))

のように表記すると、偏微分は添え字の左から順番に偏微分することに注意。
ところで、偏微分する場合、「滑らかな関数に対しては、高階の偏導関数は偏微分を行なう変数の順番によらない」（ヤングの定理）ということに注意すると、

f_{x y} (x, y)= f_{y x} (x, y) f_{x x y} (x, y)= f_{x y x} (x, y)= f_{y x x} (x, y)

であるから、最初の表記で代表することにする。
すると、(17)式の右辺が意味するところは、

0次の項 \frac{1}{0!} {(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y})}^{0} f (x_{0}, y_{0})= 1 \cdot f (x_{0}, y_{0}) １次の項 \frac{1}{1!} {(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y})}^{1} f (x_{0}, y_{0})= a f_{x} (x_{0}, y_{0})+ b f_{y} (x_{0}, y_{0}) ２次の項 \frac{1}{2!} {(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y})}^{2} f (x_{0}, y_{0}) = \frac{1}{2} (a^{2} f_{x x} (x_{0}, y_{0})+ 2 a b f_{x y} (x_{0}, y_{0})+ b^{2} f_{y y} (x_{0}, y_{0})) ３次の項 \frac{1}{3!} {(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y})}^{3} f (x_{0}, y_{0}) = \frac{1}{6} (a^{3} f_{x x x} (x_{0}, y_{0})+ 3 a^{2} b f_{x x y} (x_{0}, y_{0})+ 3 a b^{2} f_{x y y} (x_{0}, y_{0})+ b^{3} f_{y y y} (x_{0}, y_{0})) ⋮ したがって、３次までのテーラー展開は f (x_{0} + a, y_{0} + b) ≒ \sum_{h = 0}^{3} \frac{1}{h!} {(a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y})}^{h} f (x_{0}, y_{0}) = f (x_{0}, y_{0})+ a f_{x} (x_{0}, y_{0})+ b f_{y} (x_{0}, y_{0}) + \frac{1}{2} a^{2} f_{x x} (x_{0}, y_{0})+ a b f_{x y} (x_{0}, y_{0})+ \frac{1}{2} b^{2} f_{y y} (x_{0}, y_{0}) + \frac{1}{6} a^{3} f_{x x x} (x_{0}, y_{0})+ \frac{1}{2} a^{2} b f_{x x y} (x_{0}, y_{0})+ \frac{1}{2} a b^{2} f_{x y y} (x_{0}, y_{0})+ \frac{1}{6} b^{3} f_{y y y} (x_{0}, y_{0})

……(18)

＜例＞二変数関数

f (x, y)

が

f (x, y)= \log (3 + 8 x + 4 y) \dots (19)

として与えられているとき、原点（x,y）=(0,0) における２次のテーラー展開を求めよ。

f (0, 0)= \log 3 f_{x} (x, y)= \frac{8}{3 + 8 x + 4 y} \to f_{x} (0, 0)= \frac{8}{3 + 0 + 0} = \frac{8}{3} f_{y} (x, y)= \frac{4}{3 + 8 x + 4 y} \to f_{y} (0, 0)= \frac{4}{3 + 0 + 0} = \frac{4}{3} f_{x x} (x, y)= \frac{-64}{{(3 + 8 x + 4 y)}^{2}} \to f_{x x} (0, 0)= \frac{-64}{{(3 + 0 + 0)}^{2}} =- \frac{64}{9} f_{x y} (x, y)= \frac{-32}{{(3 + 8 x + 4 y)}^{2}} \to f_{x y} (0, 0)= \frac{-32}{{(3 + 0 + 0)}^{2}} =- \frac{32}{9} f_{y y} (x, y)= \frac{-16}{{(3 + 8 x + 4 y)}^{2}} \to f_{y y} (0, 0)= \frac{-16}{{(3 + 0 + 0)}^{2}} =- \frac{16}{9} ((18)式を準用すると) f (a, b)≒ f (0, 0)+ a f_{x} (0, 0)+ b f_{y} (0, 0) + \frac{1}{2} (a^{2} f_{x x} (0, 0)+ 2 a b f_{x y} (0, 0)+ b^{2} f_{y y} (0, 0)) = \log 3 + \frac{8}{3} a + \frac{4}{3} b - \frac{32}{9} a^{2} - \frac{32}{9} a b - \frac{8}{9} b^{2} a, b を変数らしく x, y に変更すると f (x, y)≒ \log 3 + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3} y - \frac{32}{9} x^{2} - \frac{32}{9} x y - \frac{8}{9} y^{2}

ところで、みなさんは、

\log (1 + X)= X - \frac{1}{2} X^{2} + \frac{1}{3} X^{3} - \frac{1}{4} X^{4} + \frac{1}{5} X^{5} -\dots

……(20)

をご存知でしょうから、(19)式を

\log (3 + 8 x + 4 y)= \log 3 (1 + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3} y) = \log 3 + \log (1 + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3} y) として、(20)式を適用して \log (3 + 8 x + 4 y) ≒ \log 3 + (\frac{8}{3} x + \frac{4}{3} y)- \frac{1}{2} {(\frac{8}{3} x + \frac{4}{3} y)}^{2} = \log 3 + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3} y - \frac{32}{9} x^{2} - \frac{32}{9} x y - \frac{8}{9} y^{2}

のように求めることができる、ということもご存知でしょう。

＜「牛腸作数学IB演習」・独習ノートより＞

(1)テーラー展開とはなにか
 (2)テーラー展開の注意点
 (3)部分積分とテーラーの定理
 (4)テーラーの定理・剰余項の考察
 (5)テーラー多項式の考察
 (6)テーラー展開の計算
 (7)合成関数のテーラー展開
 (8)近似式としてのテーラー展開
 (9) a のまわりでのテーラー展開
 (10)テーラーの定理・極限
 補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
 補論・級数の収束判定
 補論・ロルの定理・考察
 補論・偏微分(1)偏導関数
 補論・偏微分(2)ヤングの定理
 余録・バーゼル問題とテーラー展開

多変数関数

多変数関数のテーラー展開

二変数関数に対する「Taylorの定理」

＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

＜「牛腸作数学IB演習」・独習ノートより＞