taylor

テーラー展開(2)

≪テーラー展開の注意点≫

f_{(x)} = \frac{1}{1 - x}

……(1)　の Taylor展開を考える。
そこで（1）式を「多項式の姿」に「化かす」ことを考えてみると、

f_{(x)}^{'} = {(\frac{1}{1 - x})}^{'} = {{(1 - x)}^{-1}}^{'}

= -1 \cdot {(1 - x)}^{-2}\cdot{(1 - x)}^{'}={(1 - x)}^{-2}

f_{(x)}^{''} = {{(1 - x)}^{-2}}^{'} = -2 \cdot {(1 - x)}^{-3}\cdot{(1 - x)}^{'}={2 (1 - x)}^{-3}

以下同様に

f^{(k)} (x) = k! {(1 - x)}^{- (k + 1)}

よって、

f^{(k)} (0) = k!

a_{k} = \frac{f^{(k)} (0)}{k!} = \frac{k!}{k!} = 1

したがって、関数　

f_{(x)} = \frac{1}{1 - x}

が多項式の姿に「化ける」としたら

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots

……(2)

という姿に「化ける」のが一番もっともらしい、ということが分かる。

但し、上での議論は「化ける」べき「多項式の姿」に「当たり」をつけただけであり、関数　

f_{(x)} = \frac{1}{1 - x}

が実際に（２）式のような「多項式の姿」に「化ける」ということを示したわけではないことに注意。

そこで多項式ではない関数　

f_{(x)} = \frac{1}{1 - x}

が（２）式のように「多項式の姿」に「化ける」などという都合の良いことが本当にあるのか？ということを、考えてみよう。
いま（２）式の右辺が「無限和」であることは、とりあえず気にしないことにして（２）式の両辺に

(1 - x)

を掛け算してみる

(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots\dots)

= (1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots\dots) - (x + x^{2} + x^{3} + \dots\dots)

= 1

……(3)

となりそうだから、確かに(2)式が成り立っていそうである。
すなわち（1）式のような多項式ではない関数も「多項式の姿」に「化け」そうなことが分かる。
ところが（2）式の両辺に　

x = 2

を代入すると

-1 = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots\dots

となり、明らかに正しくない式が得られてしまう。

そこで慎重を期して、今度は「有限和」の形で考えてみると（3）式に対応する等式は　

n \in N

を勝手にひとつ取ってきた自然数として

(1 - x) (1 + x + x^{2} + \dots\dots + x^{n})

= (1 + x + x^{2} + \dots\dots + x^{n}) - (x + x^{2} + \dots\dots + x^{n} + x^{n + 1})

= 1 - x^{n + 1}

両辺を　

(1 - x)

で割り算して適当に移項すると

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots\dots + x^{n} + \frac{x^{n + 1}}{1 - x}

……(4)

この（4）式は勝手な実数　

x \neq 1 \in R

に対して常に成り立つ等式であることに注意します。

いま、

n = 0,1,2,3, \dots

に対して（4）式を順番に書き下すと

\frac{1}{1 - x} = 1 + \frac{x}{1 - x}

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{1 - x}

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \frac{x^{3}}{1 - x}

⋮

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \frac{x^{n + 1}}{1 - x}

というように、関数　

f_{(x)} = \frac{1}{1 - x}

が段々と「多項式の姿」に「化けて」いく様子が分かる。この操作を続けてゆくとき

\lim_{n \to \infty} \frac{x^{n + 1}}{1 - x} = 0

……(5)

となることが確かめられたとすると、（4）式の両辺で

n \to \infty

　を考えることにより、このような実数　

x

に対して（2）式が成り立つことが分かる。

そこで、次に（5）式が成り立つような実数　

x \in R

の条件を考える。
いま、勝手にひとつ与えられた実数　

x \neq 1 \in R

に対して

\lim_{n \to \infty} \frac{x^{n + 1}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x} \lim_{n \to \infty} x^{n + 1}

\lim_{n \to \infty} \frac{x^{n + 1}}{1 - x} = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x^{n + 1} = 0

また

{| x |}^{n + 1} = | x^{n + 1} | = | x^{n + 1} - 0 |

と考えて

{| x |}^{n + 1}

を　「

x^{n + 1}

と　0 との間の距離」である、と解釈すると（いわゆる収束半径）

\lim_{n \to \infty} x^{n + 1} = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} {| x |}^{n + 1} = 0

（左側では　

x^{n + 1}

　が 0 に近づく、右側では　

x^{n + 1}

と０との間の距離が０に近づく、と解釈している）
このとき

\lim_{n \to \infty} {| x |}^{n + 1} = \{\begin{matrix} 0 & | x | < 1 \\ 1 & | x | = 1 \\ \infty & | x | > 1 \end{matrix}

したがって

\lim_{n \to \infty} {| x |}^{n + 1} = 0 \Leftrightarrow | x | < 1

となる。
以上の考察より（4）式の右辺に現われる「おつりの項」を無視することができるのは、

| x | < 1

のときだけである。したがって、（２）式の等式が成り立つのは、

| x | < 1

のときだけである、ことが分かる。

一般の関数　

f_{(x)}

に対するTaylor展開を考えたとき、どのような実数　

x \in R

に対して

f (x) = f_{(0)} + f_{(0)}^{'} x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} + \dots

という等式が成り立つのか、ということは、きちんと考えなければならない問題である。また、そのとき（２）式のように、いきなり「次数が無限大の多項式の姿」に「化か」して考えるのではなく、（４）式のように「有限和」で考えるほうがより理解できる、のではないだろうか。

そこで次回は、一般の滑らかな関数　

f_{(x)}

に対して「おつりの項」をつけて「次数が有限の多項式の姿」に「化かす」ことができるか、について考察してみよう。

＜「牛腸作数学IB演習」・独習ノートより＞

(1)テーラー展開とはなにか
 (3)部分積分とテーラーの定理
 (4)テーラーの定理・剰余項の考察
 (5)テーラー多項式の考察
 (6)テーラー展開の計算
 (7)合成関数のテーラー展開
 (8)近似式としてのテーラー展開
 (9) a のまわりでのテーラー展開
 (10)テーラーの定理・極限
 (11)多変数のテーラー展開
 補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
 補論・級数の収束判定
 補論・ロルの定理・考察
 補論・偏微分(1)偏導関数
 補論・偏微分(2)ヤングの定理
 余録・バーゼル問題とテーラー展開

テーラー展開(2)

≪テーラー展開の注意点≫

＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

＜「牛腸作数学IB演習」・独習ノートより＞