≪テーラー展開の意味するものはなにか≫

ありきたりではあるが、まずは「写像」とはなにか、ついて復習してみよう。
写像とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。『ウィキペディア（Wikipedia）』
写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである

≪　写像と関数　≫
教科書的には、「集合 $S$ から集合 $T$への写像 $f$ とは、$S$ の各元に対して $T$ の元を対応させる対応のこと」で、このとき記号を用いて写像を　$f:S\to T$ と表わしたり　$S$ の元　$x\in S$ に対して　$f$ により $x$ が対応させられる $T$ の元を $f\left(x\right)\in T$ と表わしたりする。
ここで、$S$ の元を $x$ としたのは深い意味はなくて、気持ちは「 $f$ の元なら何でもよいから勝手にひとつ持ってきなさい、デモ名前がないと表わすのにちょっと不都合だから仮に $x$ と呼んでみた」ということである。したがって別に「$x$」と呼ばなくても「y」でもよいし「あ」でも良い。ここでは $S$ の元を勝手にひとつ取ってきて、 $x$ と呼んだけれども、 $x$ は「 $S$ の元なら何でも良い」という気持ちも入っていていわば「変数的」に使われている、ということである。
一方、$S$ の特定の元に名前を付けることもあって、この場合には上の場合と区別するために　$x$　ではなく、「これこれの元を　$x_0\in S$ と書く」などと添え字をつけて表わすことが多い、といっても、これは厳密に決まっているわけではないので、「変数的に」使っているのか「特定の元」を表わしているのか、ということをきちんと考えてみることが必要である。
特に、高校までの数学では「関数」 $f$ と、その値「$f\left(x\right)$ 」とを余りハッキリとは区別せずに「関数」も「その値」も両方とも「$f\left(x\right)$ 」という共通の記号で表わすことが多い。そのために、「関数」に対する議論をしているのか、「関数の値」に対する議論をしているのか、ということが曖昧になり分からなくなってしまうことがしばしば起こりうる。そこで、「$f\left(x\right)$ 」から「 $f$ 」というように、一度変数から独立させて「関数」を「対応のこと」と捉え、「関数と関数の値」とを別々の概念として理解することが大事である。

さて、写像の定義では　 $S$ や $T$ は集合であれば何でも良いわけで、 $T$ として例えば実数全体の集合 $\mathbb{R}$ のような「数の集合」（すなわち足し算・掛け算ができる）を考えることもできる。このように写像の行き先の集合である $T$ が「数の集合」である場合には写像のことを『関数』と呼び、正確には「 $S$ 上の実数値関数」などと呼ぶことで、 $S$ や $T$ が何であるのか、ということを表したりもする。

例として、 $S$ が $S=${ 1,2 } という二つの数からなる場合を考えてみると、定義により $S$ 上の（実数値）関数 $f$ とは、1,2 $\in S$ という集合 $S$ のそれぞれの元に実数を対応させるものだから、行き先である $f_{\text{(1)}},f_{\text{(2)}}$ を指定すれば関数 $f$ は決まることになる。
したがって関数 $f$ に対して というように、平面　${\mathbb{R}}^2$ 上の点 $f_{\text{(1)}},f_{\text{(2)}}\in {\mathbb{R}}^2$ を対応させて考えることができて、$S=${ 1,2 } という2点からなる集合上の実数値関数は平面　${\mathbb{R}}^2$ 上の点と同じだけ存在することが分かる。

また、 $S$ として　 $\mathbb{N}=\text{{1,2,3}\dots \; \dots \}$ という自然数全体の集合を考えてみた場合には、 $S$ 上の関数とは数列のことに他ならない。この場合には $n\in \mathbb{N}$ に対して　$f_{\text{(n)}}$ と書く代わりに $a_n$ などと書いて表わすことが普通である。こうした関数は ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 上の点と同じだけ存在するが分かる。

次に、 $S$ として　 $\mathbb{R}$ という実数全体の集合の場合を考えると、こんどは「1,2,3,....」と順番に名前を付けていくことができないほど $\mathbb{R}$ の元はたくさん存在し、一口に $\mathbb{R}$ 上の関数と言っても我々が想像できないようなモノに出くわすことになる。なにしろ「関数」というのは、 $\mathbb{R}$ の元に数を一つづつ対応させていればよいのであって、対応のさせ方に何の規則性が無くともよいわけだから。

このように $\mathbb{R}$ 上の関数全体を考えてみよう、といっても、我々の想像力の欠如のゆえにほとんどの関数というのは我々には理解することができない。
そこでどうするか、といえば、 $\mathbb{R}$ 上のすべての関数を調べることは諦めて、数を対応させるやり方がある程度規則的と思われる関数だけを問題にして、そうした関数の性質をよりよく理解しようと努めることになる。
例えば、微積分では「近所」は「近所」に写すような連続関数や、値の変わり方が唐突ではなく「滑らか」に変わると思われる微分可能な関数などに考察の対象を絞って、そうした関数の性質をよりよく理解しようと考える。と言ってもやはり一般的な微分可能な関数というものもイメージしにくいものではあるが。
しかし、もう少し $\mathbb{R}$ 上の関数について考えてみると、 $\mathbb{R}$ 上の関数の中には数を対応させるやり方が極めて規則性をもっているものが存在する。すなわち、「多項式関数」というものが存在している。多項式関数は数の対応のさせ方が極めて規則的であるために、例えば という多項式関数に対して である、というように関数自体の把握がとても容易である、と考えられる。

≪テーラー展開とは≫
そこで、この分かりやすい多項式関数の力を借りて、一般の関数の様子を理解することができないものだろうか、ということが考えられた。より具体的には、一般の関数を「多項式の姿」に「化かす」ことで「多項式の姿」を通して関数の様子を理解することができないだろうか、ということが考えられた。
その一つの答えが「テーラー展開」である。

＜次数が無限大の多項式＞
Taylor展開のアイデアとは、一般の関数を「多項式の姿」に「化かす」ということにある。
例として、$f_{\left(x\right)}=\sin x$ が多項式に「化ける」かどうかを考えた場合に、「多項式の姿」というのを文字通り解釈すると となるような　$n\in \mathbb{N}$ や $a_0,a_1,a_2,\dots a_n\in \mathbb{R}$ が見つかる、ということになる。
ところが、このような多項式は存在しない。
なぜなら、(1)式の両辺に現われる零点を考えてみると
左辺の　$\sin x$ の零点は｛ $0,\pm \pi ,\pm \mathrm{2\pi },\dots$ ｝ と無限集合になる。
一方、「代数学の基本原理」により、ｎ次の多項式の零点は複素数の範囲でも高々ｎ個しか存在しないから、(1)式の右辺の零点は高々ｎ個しか存在しない。
もし、（1）式のように２つの関数が一致するとすれば当然それらの零点も一致するはずだから、（1）式を成り立たせるような多項式は存在しない。
したがって無限個の零点を持つ $\sin x$ が「多項式の姿」に「化ける」かどうかを問題にしようとすれば、最初から「次数が無限大の多項式」を考察しなければならないことが分かる。

すなわち、次数が有限な多項式しか考えないとすると、多項式関数以外の関数を「多項式の姿」で表わすことはできないわけで、「次数が無限大の多項式」を考えることで多項式以外の関数も「多項式の姿」で表わすことができるのではないか、と考えてみる、というのがTaylor展開における基本的なアイデアである。

＜どのような姿に化けるか＞
しかし、当面は「無限和」のことは横に置いて、 一般の関数が「多項式の姿」に「化ける」ことができるとすると、どのような姿に「化ける」のがもっともらしいのか、ということから考えてみよう。

いま、一般の関数 $f_{\left(x\right)}$ が というように、「多項式の姿」で表わされた、と仮定しよう。

このとき右辺の無限和は、その意味付けがはっきりしていない、としても、何度でも微分できそうな感じである。したがって、左辺の　$f_{\left(x\right)}$ も滑らかな関数であろうと推察される。
そこで「滑らかな関数　$f_{\left(x\right)}$ 」が勝手にひとつ与えられたとき、　$f_{\left(x\right)}$ が（２）式のように「多項式の姿」に「化ける」ことができるとしたら、各係数　$a_k$ としてどのような値が一番もっともらしい、かを考えてみる。

（２）式において　$x=0$ として両辺の値を見比べてみると　$a_0=f_{\left(0\right)}$ となることがもっともらしく思われる。
つぎに$a_1\text{は}{f}_{\left(x\right)}$ が滑らかな関数と思われるので、両辺を微分してみると となるが、再び　$x=0$ として両辺の値を見比べると、 　$a_1=f_{\left(0\right)}^{\text{'}}$ となることがもっともらしく思われる。
次に　　$a_2$ は（3）式の両辺を微分して 再び　$x=0$ として両辺の値を見比べると、 同様に考えると 係数 $a_k$ は「 $f_{\left(x\right)}$ の k階導関数　$f^{\text{(k)}}\left(x\right)$ の 0 での値 $f^{\text{(k)}}\left(0\right)$ を $k!$ で割ったもの」となることがもっともらしく思われる。
すなわち、右辺の「無限和」の意味が何であれ $f_{\left(x\right)}$ が「多項式の姿」に「化ける」としたら、それは という姿に「化ける」ということが一番もっともらしく思われる。
こうして滑らかな関数が、「多項式の姿」に「化ける」としたら、どのような姿に「化ける」のが一番もっともらしいか、の予想がついた。

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＜「牛腸作 数学IB演習」・独習ノートより＞

(2)テーラー展開の注意点
(3)部分積分とテーラーの定理
(4)テーラーの定理・剰余項の考察
(5)テーラー多項式の考察
(6)テーラー展開の計算
(7)合成関数のテーラー展開
(8)近似式としてのテーラー展開
(9) a のまわりでのテーラー展開
(10)テーラーの定理・極限
(11)多変数のテーラー展開
補論・積分に関する「平均値の定理」
補論・発散のスピード
補論・級数の収束判定
補論・ロルの定理・考察
補論・偏微分(1)偏導関数
補論・偏微分(2)ヤングの定理
余録・バーゼル問題とテーラー展開