一般に、m 行 m 列の行列 A に対して、
という式によって定まる m 次の多項式 ${\phi }_A\left(t\right)$ を 特性多項式 と呼ぶ。
そこで、いま、(1)式を展開した多項式を $c_0,c_1,\cdots ,c_{m-1}\in \mathbb{R}$ として
と書き表わすことにする。 このとき, 特性多項式 ${\phi }_A\left(t\right)\text{\hspace{0.5em}の変数\hspace{0.5em}}t$ のところに、もともとの行列 A を代入して、
とすると、${\phi }_A\left(A\right)$ という行列は常に零行列になる、
というのが Cayley-Hamilton の定理である。

前回(1)では, A が 2 行 2 列の行列である場合に,${\phi }_A\left(A\right)$ という行列を直接計算することにより、 (4) 式の主張を確かめた。 しかし, 一般のサイズの正方行列 A に対して, ${\phi }_A\left(A\right)$ という行列を直接計算することは大変困難であるから、(4)式の主張を一般的に確かめるためには「別な工夫」が必要になる。

そこで、
$a_0,a_1,\cdots ,a_n\in \mathbb{C}\text{\hspace{0.5em}として、}n\text{\hspace{0.5em}次の多項式}f\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n\dots \text{(5)}\text{\hspace{0.5em}を考える。}\text{\hspace{0.5em}いま、与えられた正方行列\hspace{0.5em}}A\text{\hspace{0.5em} に対して}\Lambda =P^{-1}AP\text{\hspace{0.5em}となるような\hspace{0.5em}}P\text{\hspace{0.5em}が、見つかったと仮定すると}{\left(\Lambda \right)}^n=\stackrel{\stackrel{n\text{ 個}}{⏞}}{\left(P^{-1}AP\right)\left(P^{-1}AP\right)\cdots \left(P^{-1}AP\right)}=P^{-1}A\left(P{P}^{-1}\right)A\left(P{P}^{-1}\right)A\cdots A\left(P{P}^{-1}\right)AP=P^{-1}{A}^{n}P\text{\hspace{0.5em}となることが分かる。すると、(5) 式に対して}f\left(\Lambda \right)=a_{0}I+a_1\Lambda +a_2{\left(\Lambda \right)}^2+\cdots +a_n{\left(\Lambda \right)}^n=a_0\left(P^{-1}IP\right)+a_1\left(P^{-1}AP\right)+a_2\left(P^{-1}{A}^{2}P\right)+\cdots +a_n\left(P^{-1}{A}^{n}P\right)=P^{-1}\left(a_{0}I+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_n{A}^n\right)P=P^{-1}f\left(A\right)P\dots \text{(6)}$
また、(6) 式の両辺に左から $P$ を掛け算し、右から $P^{-1}$ を掛け算することで、
$f\left(A\right)=Pf\left(\Lambda \right)P^{-1}\dots \text{(7)}\text{\hspace{0.5em}となることが分かる。}$ このように、正方行列 $A,B\text{\hspace{0.5em} に対し，}{P}^{-1}AP=B$ を満たす正則行列 $P$ が存在するとき $A\text{\hspace{0.5em}と\hspace{0.5em}}B$ は共役であるという。

ところで、共役な行列の特性多項式は、
${\phi }_{\Lambda }\left(x\right)=\det \left(P^{-1}AP-xE\right)=\det P^{-1}\left(A-xE\right)P=\det P^{-1}·\det \left(A-xE\right)·\det P=\det \left(A-xE\right)\text{\hspace{0.5em}したがって、，共役な行列は、同じ特性多項式を持つことが分かる。}{\phi }_{\Lambda }\left(x\right)={\phi }_A\left(x\right)\dots \text{(8)}$
そこで、$f\left(x\right)\text{\hspace{0.5em}として\hspace{0.5em}}{\phi }_A\left(x\right)$ を取ってくると、(7)(8) 式より

${\phi }_A\left(A\right)=P·{\phi }_A\left(\Lambda \right)·P^{-1}=P·{\phi }_{\Lambda }\left(\Lambda \right)·P^{-1}$

となることが分かる。すると、「見やすい行列」 $\Lambda$ に対して

${\phi }_{\Lambda }\left(\Lambda \right)=O\text{\hspace{0.5em}ということが分かれば、}{\phi }_A\left(A\right)=P·{\phi }_{\Lambda }\left(\Lambda \right)·P^{-1}=P·O·P^{-1}=O$
となることが分かるから、(4) 式が成り立つ、ということが言える。

上の議論から、一般の正方行列 A に対して, Cayley-Hamilton の定理が成り立つことを確かめるためには,「見 やすい形」の行列 Λ に対して, Cayley-Hamilton の定理が成り立つことを確かめればよい、ということが分かる。

そこで、
${\phi }_{\Lambda }\left(\Lambda \right)=O\dots \text{(9)}$

を満たすような「見やすい」行列として、まず対角行列を考えてみると、対角行列が (9) 式を満たすことは簡単に確かめることができる(考え方は同じであるから具体的に 3 行 3 列の場合で話を進めよう。)
いま、
$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right)\text{\hspace{0.5em}であるとすると}\text{\hspace{0.5em}行列\hspace{0.5em}}\Lambda \text{\hspace{0.5em}の特性多項式\hspace{0.5em}}{\phi }_{\Lambda }\left(x\right)\text{\hspace{0.5em}は}{\phi }_{\Lambda }\left(x\right)=\left(x-{\lambda }_1\right)\left(x-{\lambda }_2\right)\left(x-{\lambda }_3\right)\text{\hspace{0.5em}よって、}{\phi }_{\Lambda }\left(\Lambda \right)=\left(\Lambda -{\lambda }_{1}I\right)\left(\Lambda -{\lambda }_{2}I\right)\left(\Lambda -{\lambda }_{3}I\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& \ast & 0\\ 0& 0& \ast \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\ast & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \ast \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\ast & 0& 0\\ 0& \ast & 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& \ast & 0\\ 0& 0& \ast \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\ast & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
このように、$\Lambda$ が対角行列のときには、(9) 式が成り立つことは簡単に確かめることができるが、しかし、一般の正方行列 $A$ が全て対角化できるわけではない。そこで、一般の正方行列 $A$ が「見やすい」形の行列にどこまで変形できるか、を考えた場合、正方行列 $A$ は「必ず三角化できる」（後で確認しよう）ことに注目する。
いま、「見やすい」行列 $\Lambda$ が
$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \ast & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \ast \\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right)$
の上三角行列であるとすると、行列 $\Lambda$ の特性多項式 ${\phi }_{\Lambda }\left(x\right)$ は
${\phi }_{\Lambda }\left(x\right)=\left(x-{\lambda }_1\right)\left(x-{\lambda }_2\right)\left(x-{\lambda }_3\right)\text{\hspace{0.5em}よって、}{\phi }_{\Lambda }\left(\Lambda \right)=\left(\Lambda -{\lambda }_{1}I\right)\left(\Lambda -{\lambda }_{2}I\right)\left(\Lambda -{\lambda }_{3}I\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& \ast & \ast \\ 0& \ast & \ast \\ 0& 0& \ast \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ 0& 0& \ast \\ 0& 0& \ast \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ 0& \ast & \ast \\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& \ast & \ast \\ 0& \ast & \ast \\ 0& 0& \ast \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
となることが分かるから、(9) 式が成り立つ。全く同様に、一般のサイズの上三角行列の場合でも、行列の積の計算を想起すると
${\phi }_{\Lambda }\left(\Lambda \right)=O$
となることが分かるだろう。

そこで、次に、与えられた正方行列 $A$ に対して

$P^{-1}AP=\Lambda$

となる上三角行列 $\Lambda$ と正則行列 $P$ が存在する、ということを確認しよう。 (上と同様に、話を具体的にするために 3 行 3 列の場合で考えてみる)
いま、3行3列の行列 $A$ が勝手にひとつ与えられているとする。このとき、$A$ の固有値を、勝手にひとつ選んできて

${\lambda }_1\in \mathbb{C}$

として、固有値 ${\lambda }_1$ に対応した固有ベクトル

${\mathbf{p}}_1\in {\mathbb{C}}^3$

を勝手にひとつ取ってきて、${\mathbf{p}}_1$ の定める一次元の線型部分空間 $\mathbb{C}{\mathbf{p}}_1$ として

${\mathbb{C}}^3=\mathbb{C}{\mathbf{p}}_1\oplus W$

というように「$\mathbb{C}{\mathbf{p}}_1$ の方向」と「$W$ の方向」に直和分解して考えてみる。このとき、行列 $A$ の他の固有値や固有ベクトルのことは横において、$W$ の基底 { ${\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ } を、勝手にひとつ選んできて、${\mathbb{C}}^3$ の基底として, { ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{f}}_2,{\mathbf{f}}_3$ } というベクトルたちを選んでみる。
いま、${\mathbf{p}}_1\text{\hspace{0.5em}は行列\hspace{0.5em}}A\text{\hspace{0.5em}の固有値\hspace{0.5em}}{\lambda }_1$ に対応する固有ベクトルだから

$A{\mathbf{p}}_1={\lambda }_1{\mathbf{p}}_1\text{\hspace{0.5em}となることに注意すると}\left(\begin{array}{ccc}A{\mathbf{p}}_1& A{\mathbf{f}}_2& A{\mathbf{f}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{p}}_1& {\mathbf{f}}_2& {\mathbf{f}}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \ast & \ast \\ 0\ast & \ast \\ 0\ast & \ast \end{array}\right)$

となることが分かるから、行列 $A$ を掛け算することにより定まる線型写像を

$L_A:{\mathbb{C}}^3\to {\mathbb{C}}^3$

と表わすことにすると、この基底に関する線型写像 $L_A$ の表現行列は、一列目の二行目以下がすべて 0 になるような行列となることが分かる。

さらに、$\mathbf{v}\in W\text{\hspace{0.5em} に対して、}A\mathbf{v}\in {\mathbb{C}}^3$ というベクトルを「$\mathbb{C}\mathbf{p}1$ の方向」と「それ以外の方向」に分解して考えてみる

$A\mathbf{v}=\alpha \left(\mathbf{v}\right){\mathbf{p}}_1+L^{\text{'}}\left(\mathbf{v}\right)\text{\hspace{0.5em}そこでいま、線形写像}{L}^{\text{'}}:W\to W\text{\hspace{0.5em}の固有値を勝手にひとつ取ってきて}{\lambda }_2\in \mathbb{C}\text{\hspace{0.5em}として、その固有ベクトル}{\mathbf{p}}_2\in W$
を勝手にひとつ取ってくる。
そして、$\left\{{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3\right\}\text{\hspace{0.5em}が\hspace{0.5em}}W$ の基底になるように、${\mathbf{p}}_3\in W$ を勝手に取ってくると、このとき、

$L^{\text{'}}{\mathbf{p}}_2={\lambda }_2{\mathbf{p}}_2\text{\hspace{0.5em}になることに注意すると}A{\mathbf{p}}_2=\alpha \left({\mathbf{p}}_2\right){\mathbf{p}}_1+L^{\text{'}}\left({\mathbf{p}}_2\right)=\alpha \left({\mathbf{p}}_2\right){\mathbf{p}}_1+{\lambda }_2\left({\mathbf{p}}_2\right)\left(\begin{array}{ccc}A{\mathbf{p}}_1& A{\mathbf{p}}_2& A{\mathbf{p}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{p}}_1& {\mathbf{p}}_2& {\mathbf{p}}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \ast & \ast \\ 0{\lambda }_2& \ast \\ 00& \ast \end{array}\right)$

となることが分かるから、${\mathbb{C}}^3$ の基底 $\left\{{\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3\right\}$ に関する線型写像 $L_A$ の表現行列は、上三角行列となる。
よって、

$P=\left({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3\right)\text{\hspace{0.5em}として、}{P}^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \ast & \ast \\ 0{\lambda }_2& \ast \\ 00& {\lambda }_3\end{array}\right)$

というように、行列 $A$ は正則行列 $P$ を用いて、「上三角化」される。


以上の考察より、一般の正方行列 $A$ に対して
　(イ) 行列 $A$ は正則行列 $P$ を用いて、「上三角化」される。
　(ロ) 「上三角行列」の 特性多項式 ${\phi }_A\left(t\right)=O$ である。
ということから、, Cayley-Hamilton の定理が成り立つことが分かる。