Jordan標準形 (3)

(イ)　Jordan 標準形の存在

n 次の正方行列 A が「ベキ零行列」であるとすると、行列 A は、Jordan 細胞を用いて

P^{-1} A P = (\begin{matrix} J_{r_{1}} (0) & 0 \\ J_{r_{2}} (0) \\ ⋱ \\ 0 & J_{r_{s}} (0) \end{matrix}) \dots (1) (ただし、 r_{1} + r_{2} +\dots+ r_{s} = n)

と表わすことができるような行列

P

が存在し、「ベキ零行列」は Jordan 標準形へ変換することができる。

いま、

A

はベキ零行列なので、

A^{k} = O A^{k -1} \neq O \dots (2) となる k \in N が存在する。

前回＜jordan 細胞＞では、

k = 1, k = n

のときを主に考察した。

k = 1 のとき A^{1} = O = (0) P = (1) として、 P^{-1} A P = (0) = J_{1} (0) k = n のとき A^{n} = O P = (A^{k -1} e, A^{k -2} e,\dots, A e . e) として、 P^{-1} A P = J_{n} (0)

そこで、今回は、

2 \leq k < n

とした場合、どうなるかを、より詳しくみていこう。

いま、

A^{k -1} e \neq O

　となる

e \in C^{n}

を一つ固定し

V = ⟨ A^{k -1} e, A^{k -2} e,\dots, A e . e ⟩ とする。 また、 A -不変空間 W を W = ⟨ a_{k +1}, a_{k +2},,\dots, a_{n} ⟩ として、 C^{n} = V \oplus W となるようにとる。 ここで、 Q = (A^{k -1} e,\dots, A e . e, a_{k +1},\dots, a_{n}) とすると、 Q^{-1} A Q = (\begin{matrix} J_{k} (0) & O \\ O & A^{'} \end{matrix}) \begin{matrix} ↕ k \\ ↕ n - k \end{matrix} \dots (3) となることが分かる。

いま、

k \geq 2

であるから、(n-1)次で(1)式が成り立つ、と仮定しよう。

ところで、(1)式を(3)式に適用するためには、

A^{'}

は「べき零行列」でなければならない。そのことを確認しよう。

{(Q^{-1} A Q)}^{n} = {(\begin{matrix} J_{k} (0) & O \\ O & A^{'} \end{matrix})}^{n} Q^{-1} A^{n} Q = (\begin{matrix} J_{k} {(0)}^{n} & O \\ O & {(A^{'})}^{n} \end{matrix}) A^{n} = O より Q^{-1} A^{n} Q = O したがって、 {(A^{'})}^{n} = O すなわち、 A^{'} も、「べき零行列」である。

すると、(1)を適用して、

R^{-1} A^{'} R = (\begin{matrix} J_{r_{1}} (0) & 0 \\ J_{r_{2}} (0) \\ ⋱ \\ 0 & J_{r_{i}} (0) \end{matrix}) \dots (4)

と表わすことができるような行列

R

が存在する。そこで、

P = Q (\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R \end{matrix}) とすると、 P^{-1} A P = {\{Q (\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R \end{matrix})\}}^{-1} A \cdot Q (\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R \end{matrix}) = {(\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R \end{matrix})}^{-1} Q^{-1} A \cdot Q (\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R \end{matrix}) (3)式より = (\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R^{-1} \end{matrix}) (\begin{matrix} J_{k} (0) & O \\ O & A^{'} \end{matrix}) (\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R \end{matrix}) = (\begin{matrix} J_{k} (0) & O \\ O & R^{-1} A^{'} \end{matrix}) (\begin{matrix} E_{k} & O \\ O & R \end{matrix}) = (\begin{matrix} J_{k} (0) & O \\ O & R^{-1} A^{'} R \end{matrix}) (4)式より = (\begin{matrix} J_{k} (0) \\ J_{r_{1}} (0) & 0 \\ J_{r_{2}} (0) \\ ⋱ \\ 0 & J_{r_{i}} (0) \end{matrix})

(ロ) Jordan 標準形の一意性 (イ)の考察で、「べき零行列」はある行列 P を用いて Jordan 標準形に変換できることは分かったが、それでは、違う行列 Q を用いると Jordan 標準形も違う形になるのだろうか？　答えは「Jordan 行列は Jordan 細胞の並べ方を除けばただ一通りに定まる」それは、行列 P,Q によってでなく、べき零行列 A の性質のみによって決まる。

そのことを確認しよう。 Jordan 行列における

j

次 Jordan 細胞の個数を

m_{j} (1 \leq j < k) とし、 A^{k -1} \neq O A^{k} = O として、 r_{i} = rank (A^{i}) (0 \leq i < k -1) を考える。

ここで、

j

次 Jordan 細胞の2乗、3乗を計算すると、例えば、

J_{4} (0) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (rank (J_{4} (0)) = 3) J_{4}^{2} (0) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (rank (J_{4}^{2} (0)) = 2)

のように、 1 が並ぶ斜線が一つずつ上に上がっていくことが分かる。
したがって、

rank (J_{j}^{i} (0)) = \{\begin{matrix} j - i & (0 \leq i < j) \\ 0 & (i \geq j) \end{matrix} よって、 r_{i} = \sum_{j = i +1}^{k} m_{j} (j - i) (0 \leq i < k -1) すると、 r_{k -1} = m_{k} r_{k -2} = m_{k -1} + 2 m_{k} ⋮ r_{k - j} = m_{k - j +1} + 2 m_{k - j +2} +\dots+ (j -1) m_{k} + j m_{k} ⋮ r_{1} = m_{2} + 2 m_{3} +\dots+ (k -1) m_{k} r_{0} = m_{1} + 2 m_{2} +\dots+ k m_{k}

を得る。これらの式を上から順に見れば、

m_{k} m_{k -1} \dots m_{1}

を順に、

r_{k -1} r_{k -2} \dots r_{1} r_{0}

によって決まることが分かる。
すなわち、Jordan 細胞の個数は

rank (A^{i})

のみによって決まる。つまり、

A

の性質によってのみ決まることが分かる。

(ハ) Jordan 細胞の個数

それでは、Jordan 細胞の個数はいくつあるのだろうか。

(ロ)の考察で、

r_{i} = rank (A^{i}) (0 \leq i < k -1) とすると、 r_{k -1} = m_{k} r_{k -2} = m_{k -1} + 2 m_{k} r_{k -3} = m_{k -2} + 2 m_{k -1} + 3 m_{k} であるから、 m_{k -2} = r_{k -3} - 2 m_{k -1} - 3 m_{k} = r_{k -3} - 2 (r_{k -2} - 2 m_{k}) - 3 m_{k} = r_{k -3} - 2 r_{k -2} + m_{k} = r_{k -3} - 2 r_{k -2} + r_{k -1} ここで、 j = k -2 とおくと、 m_{j} = r_{j +1} - 2 r_{j} + r_{j -1} (j = 23 \dots k -2)

つまり、Jordan 行列の

j

次 Jordan 細胞の個数

m_{j}

は、

m_{j} = rank (A^{j +1}) - 2 rank (A^{j}) + rank (A^{j -1}) (j = 123 \dots k)

として表わされる。

(二) Jordan 細胞の次数

(ロ)の考察より、

A^{k} = O, A^{k -1} \neq O

を満たす

k (2 \leq k \leq n)

は Jordan 細胞の次数である。

さて、n 次正方行列 A の固有方程式が

λ \in C

を n 重解としてもつ場合を考えてみよう。

仮定より、行列 A の特性（固有）多項式は

Φ_{A} (x) = \det (x I - A) = {(x - λ)}^{n} したがって、 N = A - λ I とおくと、 Φ_{N} (x) = \det (x I - N) = \det (x I - A + λ I) = \det ((x + λ) I - A) = Φ_{A} (x + λ) = {((x + λ) - λ)}^{n} = x^{n} よって、Cayley-Hamilton の定理より Φ_{N} (N) = O 一方、 Φ_{N} (N) = N^{n} なので、結局、 N^{n} = O となるので、 N は「べき零行列」である。

すると、(イ)より、

P^{-1} N P

は、Jordan 行列となる。
したがって、

J = P^{-1} N P とすると、 P^{-1} A P = P^{-1} (N + λ I) P = P^{-1} N P + λ I = J + λ I

となるので、

P^{-1} A P = J_{n} (λ)

　すなわち、Jordan 行列で表わされる、ことが分かる。

Jordan 標準形 (3)

＜「ベキ零行列」のJordan 標準形　＞

Jordan 標準形 (3)

＜「ベキ零行列」のJordan 標準形 ＞

＜「ベキ零行列」のJordan 標準形　＞