Jordan 標準形 (2)

＜　Jordan 標準形　＞

天下り的ではあるが、一般に、勝手な自然数 n∈N と勝手な複素数 λ∈C に対して、

Jnλ= λ10 ⋯0 0λ1 ⋱⋮ 00⋱ ⋱0 ⋮⋮⋱ λ1 000 0λ ⏟ n 個
というように、対角線上に λ が並び、その一段上だけに 1 が並んだような行列を Jordan 細胞（Jordan block） と呼び、対角成分 λ と行列のサイズ k を用いて Jkλ と表記する（あるいは、Jλk と書く人もいる）。
また、n1n2⋯nk∈N,λ1λ2⋯λk∈C として、
J= Jn1λ1 Jn2λ2 ⋱ Jnkλk
というように、対角線上に Jordan 細胞がいくつか並んだような形の行列 J を Jordan 標準形と呼ぶ。

＜Jordan 細胞＞

Jordan 細胞をもう少し詳しく見てみよう。
Jordan 細胞 Jnλ は、いま、
N= 010 ⋯0 001 ⋱⋮ 00⋱ ⋱0 ⋮⋮⋱ 01 000 00 …(1)  とすると、 Jnλ= λI+N
というように, スカラー行列 λI と「見やすい形」のベキ零行列 N の和の形に表わすことができる。
それでは、ベキ零行列が、どうして「見やすい形」のベキ零行列 N の形に表わされるのだろうか。
いま、 n 次の正方行列 A が n 次のベキ零行列であるとすると、

An-1≠O An=O  そこで e∈Cn An-1e≠O  となる e が存在するから、 An-1e, An-2e,⋯, A1e.A0e  を Cn  の基底としてとってきて、行列 P を、 P:=( An-1e, An-2e,⋯, Ae.e⁡)
とすると、P は正則行列で逆行列が存在する。
c1e+ c2Ae+ c3A2e +⋯+ cnAn-1e =O  とおいて、An-1 を左からかけると、 c1An-1e =O  より、c1=0  また、 c2Ae+ c3A2e +⋯+ cnAn-1e =O  において、An-2 を左からかけると、 c2An-1e =O  より、c2=0  同様にして、 c1=c2 =⋯=cn=0  したがって、 An-1e, An-2e,⋯, Ae.e  は、一次独立である。

いま、ei を Cn の自然基底として P-1AP の第一列目を取り出すと、
P-1AP· e1 = P-1A·P e1 = P-1A· An-1e = P-1· Ane =O
したがって、P-1AP の第一列目は、ゼロベクトルであることが分かる。
次に、 P-1AP の第二列目を取り出すと、
P-1AP· e2 = P-1A·P e2 = P-1A· An-2e = P-1· An-1e  ところで、 Pe1= An-1e  両辺に、左から P-1 を掛けると P-1Pe1= P-1An-1 e e1= P-1An-1 e
したがって、P-1AP の第二列目は、e1 となることが分かる。
さらに、 P-1AP の第三列目を取り出すと、
P-1AP· e3 = P-1A·P e3 = P-1A· An-3e = P-1· An-2e  ところで、 Pe2= An-2e  両辺に、左から P-1 を掛けると P-1Pe2= P-1An-2 e e2= P-1An-2 e
したがって、P-1AP の第三列目は、e2 となることが分かる。
いま、P-1AP は
P-1AP∼ 010 ⋯ 001 ⋯ 000 ⋯ ⋮⋮⋮ ⋯ 000 ⋯
となっていることが分かる。
さらに、同様の作業を繰り返すと、第 n 列目は、
P-1AP· en = P-1A·P en = P-1A· e = P-1· Ae  ところで、 Pen-1= Ae  両辺に、左から P-1 を掛けると P-1Pen-1 = P-1Ae en-1= P-1Ae
したがって、P-1AP の第 n 列目は、en-1 となることが分かる。
すなわち、
P-1AP= 010 ⋯0 001 ⋱⋮ 00⋱ ⋱0 ⋮⋮⋱ 01 000 00
となる P が存在する。
したがって、

P-1AP= Jn0 …(2)

「ベキ零行列」のJordan 標準形

n 次の正方行列 A が「ベキ零行列」であるとすると、行列 A は、Jordan 細胞を用いて
P-1AP= Jr10 0 Jr20 ⋱ 0Jrs0 …(3) ⁡( ただし、 r1+r2+⋯+ rs=n )
と表わすことができるような行列 P が存在し、「ベキ零行列」は Jordan 標準形へ変換することができる。そのことを確認する。
A の次数を n として、  まず、n=1 の場合は、   A=0= J10  したがって、これは Jordan 行列である。
 ただし、A=O  は、J10　を対角成分に並べたものがゼロ行列なので、A≠O と仮定する。

いま、A はベキ零行列なので、

Ak=O Ak-1≠O …(4)  となる k∈N が存在する。
そこで、Ak-1e≠O 　となる e∈Cn を一つ固定し

W:=span⟨ Ak-1e, Ak-2e,⋯, Ae.e⟩

とすると、W は A の不変部分空間になる。すなわち、
∀x∈W⇒ Ax∈W  が成り立つ。そして、 A Ak-1e  Ak-2e ⋯  Ae e = Ake  Ak-1e  Ak-2e ⋯  Ae = 0  Ak-1e  Ak-2e ⋯  Ae = Ak-1e  Ak-2e ⋯  Ae e 01 0 01 ⋱⋱ ⋱1 00 = Ak-1e  Ak-2e ⋯  Ae e Jk0
したがって、k=n ならば、W の基底に関する表現行列は、Jk0 である。

以下では、2≤k<n と仮定する。 　

このとき、もしも、Cn が W ともう一つの A-不変部分空間 U によって

Cn = U⊕W
となれば、次の関係を得る。

Jk0 O O∗ ↕ k  ↕ n-k  そこで、Cn  が Cn =U+W  かつ U∩W=⁡{0⁡}
となることを確認しよう。

考え方は、 Cn ⊋U+W として、矛盾をつく背理法で考える。
A-不変部分空間 U で、U∩W=⁡{0⁡} となるもののうち、次元が最大のものを取る。
Cn ⊋U+W ,  U∩W=⁡{0⁡}  と仮定する。すると、 α∉U+W α∈Cn  が存在することになる。ところで、 Ak=O  より Akα=O ∈U+W  すると、はじめて U+W に入るような、 Al-1α ∉U+W Alα ∈U+W  条件を満たす l2≤l≤k が存在する。  Alα ⏟ ∈U+W = u ⏟ ∈U + ∑ i=0 k-1 ci Ai e ⏟ ∈W …(5)  (5)式の両辺に Ak-1  を左からかけると、左辺は  Ak-1 Alα = Al-1 Akα =0  右辺は、 = Ak-1u + c0Ak-1 e  したがって、 -Ak-1u ⏟ ∈U = c0Ak-1 e ⏟ ∈W …(6)  また、 U∩W=⁡{0⁡}  より、（6）式の値は 0 である。  ゆえに、c0=0  そこで、c0=0  に注意すると、(5)式は u= Alα - ∑ i=1 k-1 ci Ai e = A Al-1 α - ∑ i=1 k-1 ci Ai-1 e  ここで、 b:= Al-1 α ⏟ ∉U+W - ∑ i=1 k-1 ci Ai-1 e ⏟ ∈W  とおくと、 b∉U+W  かつ、 Ab∈U
いま、U と b の張る部分空間をU' とすると、

dimU'= dimU+1  で、U' は、A -不変である。  （なぜなら、U は、A -不変であり、 Ab=u∈U  ）  そこで、c∈U'+W とすると、 c=y+tb y∈U, t∈C  したがって、 tb=-y+c ∈U+W b∉U+W  ゆえに、t=0  すると、 y=c∈U∩W ={0⁡}  ゆえに、 U'∩W={0⁡}  これは、U  が次元が最大という仮定に反する。