いま、
$f\left(x\right)=x^n\text{\hspace{0.5em}とすると、}f\left(x+y\right)\text{\hspace{0.5em}は、}$ これを、二項展開で表わすと
そこで、$y\sim \mathrm{\Delta x}$ のように考えると、(2)式は x をひとつ固定したときの「y の関数」をベキの形で表わしたもの、とみることができる。
すると、(2)式の二項展開は、
という「Taylor 展開」に他ならない、ということが分かる。
さて、いま、
そこで、いま、正方行列 $A$ は、
$\left\{\begin{array}{l}A=\lambda I+N\\ A^2={\lambda }^{2}I+2\lambda N+N^2\\ A^3={\lambda }^{3}I+3{\lambda }^{2}N+3\lambda N^2\end{array}\right.$
を考えることができるから、勝手な多項式

$f\left(x\right)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3\dots \text{(6)}$

に対して、変数 $x$ のところに $A$ という行列を代入して

$f\left(A\right)=aI+bA+c{A}^2+d{A}^3\dots \text{(7)}$

という行列を考えることができる。

したがって、(7)式は

$f\left(A\right)=\left(\begin{array}{ccc}a+b\lambda +c{\lambda }^2+d{\lambda }^3& b+2c\lambda +3d{\lambda }^2& c+3d\lambda \\ 0& a+b\lambda +c{\lambda }^2+d{\lambda }^3& b+2c\lambda +3d{\lambda }^2\\ 0& 0& a+b\lambda +c{\lambda }^2+d{\lambda }^3\end{array}\right)\dots \text{(8)}$
となることが分かる。そこで、行列の成分をよくよく考えると、

のように表わせることが分かる。
　そこで、一般の多項式

$f\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k$
の場合を考えてみると、上の議論より、勝手な自然数 $k\in \mathbb{N}$ に対して

$A^k={\lambda }^{k}I+k{\lambda }^{k-1}N+\frac{k\left(k-1\right)}{2}{\lambda }^{k-2}{N}^2$

というように表わせることが分かるから、

$f\left(A\right)=a_{0}I+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_n{A}^n=\sum _{k=0}^n{a}_k{A}^k=\sum _{k=0}^n{a}_k\left\{{\lambda }^{k}I+k{\lambda }^{k-1}N+\frac{k\left(k-1\right)}{2}{\lambda }^{k-2}{N}^2\right\}=\left\{\sum _{k=0}^n{a}_k{\lambda }^k\right\}·I+\left\{\sum _{k=0}^{n}k{a}_k{\lambda }^{k-1}\right\}·N+\frac{1}{2}\left\{\sum _{k=0}^{n}k\left(k-1\right)a_k{\lambda }^{k-2}\right\}·N^2\text{\hspace{0.5em}そこで、}\left\{\begin{array}{l}f\left(\lambda \right)=\sum _{k=0}^n{a}_k{\lambda }^k\\ f^{\prime }\left(\lambda \right)=\sum _{k=0}^{n}k{a}_k{\lambda }^{k-1}\\ f^{″}\left(\lambda \right)=\sum _{k=0}^{n}k\left(k-1\right)a_k{\lambda }^{k-2}\end{array}\right.\text{\hspace{0.5em}となることに注意すると、}f\left(A\right)=f\left(\lambda \right)I+f^{\prime }\left(\lambda \right)N+\frac{1}{2}{f}^{″}\left(\lambda \right)N^2=\left(\begin{array}{ccc}f\left(\lambda \right)& f^{\prime }\left(\lambda \right)& \frac{1}{2}{f}^{″}\left(\lambda \right)\\ 0& f\left(\lambda \right)& f^{\prime }\left(\lambda \right)\\ 0& 0& f\left(\lambda \right)\end{array}\right)\dots \text{(10)}$
となることが分かる。

一方、（ロ）の場合は、

このように、ある行列をスカラー行列 $\lambda I$ とベキ零行列 $N$ の和に分解すると、これらの行列に対しては、$n\in \mathbb{N},f\left(x\right)\in \mathbb{C}\left[x\right]$ として、比較的簡単な計算で、直接、$A^n\text{\hspace{0.5em}や\hspace{0.5em}}f\left(A\right)$ などの行列を求めることができる。その意味で, これらの行列も「十分見やすい形をしている」と考えることができる。そこで, このように対角線の一段上だけに 1 がいくつか登場することを許すような「一般化された対角行列」も「見やすい形の行列」の仲間に入れるということが考えられた. このような「一般化された対角行列」のことを Jordan 標準形と呼ぶ。